8mr-2)3 3 )+=cos(x--) 3(x--) 68 利用(2)式与(3)式,即得到 3√3、(-1) 3(-1) 2.32n1-1)(x-2)2n x∈(-00+ 8m(2n+1)6 例3求f(x)=lnx,(x>0)关于变量的幂级数展开 解令t 则 1+t (0<t<1)。利用(5)式,即得到 x+1 hx=hn1+=m(+0-m-)=∑r+1 n 2n2n=222n+1x+ ,x>0 2.对已知幂级数展开的函数进行还项求导或逐项积分。 例4求f(x)=在x=1的幂级数展开。 解由于8)=x-1+(x-15=2(x-,利用逐项求导,即可得到 f(x)=-g(x)=∑m(x-1)=∑(n+1)x-1)”,x∈(0,2) 例5求f(x)= arcsin X在x=0的幂级数展开。 解利用(6)式(a=-),可知当x∈(-1,1)时, x2) 1x2+x7+…+(n (2m)! 对等式两边从0到x积分,利用幂级数的逐项可积性与 d t arcsin x, 即得到 arcsinx=x+ (2n ∈|-1 其中关于幂级数在区间端点x=±1的收敛性,可用Rabe判别法得到 特别,取x=1,我们得到关于I的一个级数表示: 1+ y(2n-1) (2n)!!2n+1 3.对形如f(x)g(x),(X的函数,可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法” g(x) 设f(x)的幂级数展开为∑anx”,收敛半径为R1,g(x)的幂级数展开为∑bx) 6 cos3( 4 1 ) 6 cos( 8 3 ) 6 sin( 8 3 3 π π π = x − + x − − x − ， 利用（2）式与（3）式，即得到 ) , ( , ). 6 (2 3 1)( (2 )! ( 1) 8 3 ) 6 ( (2 1)! ( 1) 8 3 3 ( ) 2 1 2 0 0 2 1 ⋅ − − ∈ −∞ +∞ − − − + − = − ∞ = ∞ = + ∑ ∑ x x n x n f x n n n n n n n π π 例3 求 f (x) = ln x, (x > 0) 关于变量 1 1 + − x x 的幂级数展开。 解 令 , 1 1 + − = x x t 则 , (0 1) 1 1 < < − + = t t t x 。利用（5）式，即得到 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln ln t t t t x = + − − − + = n n n n n t n t n ∑ ∑ ∞ = ∞ = + + − = 1 1 1 ( 1) 1 ) , 0. 1 1 ( 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 > + − ⋅ + ⋅ = + = ∑ ∑ ∞ = + + ∞ = x x x n t n n n n n 2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例 4 求 2 1 ( ) x f x = 在 x = 1 的幂级数展开。 解 由于 ∑ ∞ = = − + − = = 0 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( ) n n x x x g x ，利用逐项求导，即可得到 ( ) '( ) ( 1) ( 1)( 1) , (0, 2). 1 0 1 = − = ∑ ∑ − = + − ∈ ∞ = ∞ = − f x g x n x n x x n n n n 例 5 求 f (x)= arcsin x 在 x = 0 的幂级数展开。 解 利用(6)式 ) 2 1 (α = − ，可知当 x∈(-1,1)时， 2 1 1 − x = 2 1 2 (1 ) − − x = ∑ ∞ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 0 2 2 1 ( ) n n x n = 1 + 2 2 1 x + 4 8 3 x + … + n x n n 2 (2 )!! (2 −1)!! + …， 对等式两边从 0 到 x 积分，利用幂级数的逐项可积性与 ∫ − x t t 0 2 1 d = arcsin x， 即得到 arcsin x = x + ∑ ∞ = + + − 1 2 1 (2 )!! 2 1 (2 1)!! n n n x n n ， x∈[-1, 1]。 其中关于幂级数在区间端点 x = ±1 的收敛性，可用 Raabe 判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于π的一个级数表示： 2 π = 1 + ∑ ∞ = + ⋅ − 0 2 1 1 (2 )!! (2 1)!! n n n n 。 3．对形如 f (x)g(x) ， ( ) ( ) g x f x 的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法”。 设 f (x) 的幂级数展开为∑ ，收敛半径为R ∞ n=0 n n a x 1，g(x) 的幂级数展开为∑ , ∞ n=0 n n b x 3