(i)x3-x4-x3+2x §49多元多项式 1.写出一个数域F上三元三次多项式的一般形式 2.设f(x12…,x,)是一个r次齐次多项式t是任意数证明 f(x1,…txn)=!f(x1,…,xn) 3.设f(x1…,xn)是数域F上一个n元齐次多项式证明:如果 f(x1…xn)=g(x1…xn川(x1…x),则g,h也是n元齐次多项式 4.把多项式x3+y3+x3-3xyz写成两个多项式的乘积 5.设F是一个数域.f,g∈Fx1…xn是F上n元多项式如果存在 h∈Fx1…xn]使得∫=gh,那么就说g是∫的一个因式或者说g整除∫ (1)证明每一多项式f都可以被零次多项式c和f整除,c∈F,c≠0 (i)∫∈F[x1,…xn]说是不可约的,如果除了()中那两种类型的因式外,∫没有其 它的因式证明在Fx,y里,多项式x,y,x+y,x2-y都不可约 (i)举一反例证明,当n≥2时,类拟于一元多项式的带余除法不成立 ()f,g∈Hx1…xn]说是互素的如果除了零次多项式外它们没有次数大于零 的公共因式证明x,y∈Fx,y是互素的多项式能否找到(x,y),v(x,y)∈Fx,y 使得xl(x,y)+y(x,y)=1? §4.10对称多项式 1.写出某一数环R上三元三次对称多项式的一般形式 2.令R[x1,x2…,xn]是数环R上n元多项式环,S是由一切n元对称多项式所 组成的x1,…xn]的子集证明存在Fx1…x到S的一个双射[提示:利用对(iii) 3 2 1 2 2 5 4 5 3 2 x − x − x + x − x − . §4.9 多元多项式 1．写出一个数域 F 上三元三次多项式的一般形式. 2．设 ( , , ) 1 n f x  x 是一个 r 次齐次多项式.t 是任意数.证明 ( , , ) ( , , ) 1 1 n r n f tx  tx = t f x  x . 3．设 ( , , ) 1 n f x  x 是数域 F 上一个 n 元齐次多项式,证明:如果 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 n 1 n 1 n f x  x = g x  x h x  x ,则 g,h 也是 n 元齐次多项式. 4．把多项式 x y z 3xyz 3 3 3 + + − 写成两个多项式的乘积. 5．设 F 是一个数域. , [ , , ] 1 n f g  F x  x 是 F 上 n 元多项式.如果存在 [ , , ] 1 n h F x  x 使得 f = gh ,那么就说 g 是 f 的一个因式.或者说 g 整除 f . (i) 证明,每一多项式 f 都可以被零次多项式 c 和 cf 整除, c  F, c  0 . (ii) [ , ] 1 n f  F x x 说是不可约的,如果除了 (i) 中那两种类型的因式外, f 没有其 它的因式.证明,在 F[x, y] 里,多项式 x y x + y x − y 2 , , , 都不可约. (iii) 举一反例证明,当 n  2 时,类拟于一元多项式的带余除法不成立. (iv) , [ , , ] 1 n f g  F x  x 说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零 的公共因式.证明 x, y  F[x, y] 是互素的多项式.能否找到 u(x, y), v(x, y)  F[x, y] 使得 xu(x, y) + yv(x, y) = 1 ? §4.10 对称多项式 1．写出某一数环 R 上三元三次对称多项式的一般形式. 2．令 [ , , , ] 1 2 n R x x  x 是数环 R 上 n 元多项式环, S 是由一切 n 元对称多项式所 组成的 [ , , ] 1 n R x  x 的子集.证明:存在 [ , , ] 1 n R x  x 到 S 的一个双射.[提示：利用对