第十九章含参变量积分 例1研究函数Fy)=y32的连续性,其中(x)是0上连续且为正的函数 解令8(xy)=y(x),则g(xy)在[×[c,d连续,其中0cd。从而F(y)在 y≠0连续。 当y=0时,F(0)=0 当y>0时,记m=mnf(x)>0,则 m arcta 若lmF(y)存在,则lmF(y)≥ lim mactan-= y2">0=F(0) 故F(y)在y=0不连续 或用定积分中值定理,当y>0时,彐∈[0,1,使 1(y)=「'y(x) =f( f(S)arctan==/(S)arctan I 若lmF(y)存在,则 Im F()=lim f(s 0 故F(y)在y=0不连续 问题1上面最后一个式子能否写为 imf( arctan-=f(5)>0。 事实上,5是依赖于y的,极限的存在性还难以确定。1 第十九章 含参变量积分 例 1 研究函数  + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y 的连续性，其中 f (x) 是 [0,1] 上连续且为正的函数。 解 令 2 2 ( ) ( , ) x y yf x g x y + = ，则 g(x, y) 在 [0,1][c,d] 连续，其中 0[c,d] 。从而 F( y) 在 y  0 连续。 当 y = 0 时， F(0) = 0 当 y  0 时，记 min ( ) 0 [0,1] =   m f x x ，则  + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y  +  1 0 2 2 dx x y y m y m 1 = arctan 若 lim ( ) 0 F y y→ + 存在，则  → + lim ( ) 0 F y y y m y 1 lim arctan 0 → + 0 (0) 2 = m  = F  故 F( y) 在 y = 0 不连续。 或用定积分中值定理，当 y  0 时，  [0,1] ，使  + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y  + = 1 0 2 2 ( ) dx x y y f  y f y x f 1 ( ) arctan ( ) arctan 1 0 =  =  若 lim ( ) 0 F y y→ + 存在，则 = → + lim ( ) 0 F y y y f y 1 lim ( ) arctan 0  → + 0 2  m   故 F( y) 在 y = 0 不连续。 问题 1 上面最后一个式子能否写为 y f y 1 lim ( ) arctan 0  → ( ) 0 2 =    f 。 事实上，  是依赖于 y 的，极限的存在性还难以确定