第十九章含参变量积分 例1研究函数Fy)=y32的连续性,其中(x)是0上连续且为正的函数 解令8(xy)=y(x),则g(xy)在[×[c,d连续,其中0cd。从而F(y)在 y≠0连续。 当y=0时,F(0)=0 当y>0时,记m=mnf(x)>0,则 m arcta 若lmF(y)存在,则lmF(y)≥ lim mactan-= y2">0=F(0) 故F(y)在y=0不连续 或用定积分中值定理,当y>0时,彐∈[0,1,使 1(y)=「'y(x) =f( f(S)arctan==/(S)arctan I 若lmF(y)存在,则 Im F()=lim f(s 0 故F(y)在y=0不连续 问题1上面最后一个式子能否写为 imf( arctan-=f(5)>0。 事实上,5是依赖于y的,极限的存在性还难以确定
1 第十九章 含参变量积分 例 1 研究函数 + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y 的连续性，其中 f (x) 是 [0,1] 上连续且为正的函数。 解 令 2 2 ( ) ( , ) x y yf x g x y + = ，则 g(x, y) 在 [0,1][c,d] 连续，其中 0[c,d] 。从而 F( y) 在 y 0 连续。 当 y = 0 时， F(0) = 0 当 y 0 时，记 min ( ) 0 [0,1] = m f x x ，则 + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y + 1 0 2 2 dx x y y m y m 1 = arctan 若 lim ( ) 0 F y y→ + 存在，则 → + lim ( ) 0 F y y y m y 1 lim arctan 0 → + 0 (0) 2 = m = F 故 F( y) 在 y = 0 不连续。 或用定积分中值定理，当 y 0 时， [0,1] ，使 + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y + = 1 0 2 2 ( ) dx x y y f y f y x f 1 ( ) arctan ( ) arctan 1 0 = = 若 lim ( ) 0 F y y→ + 存在，则 = → + lim ( ) 0 F y y y f y 1 lim ( ) arctan 0 → + 0 2 m 故 F( y) 在 y = 0 不连续。 问题 1 上面最后一个式子能否写为 y f y 1 lim ( ) arctan 0 → ( ) 0 2 = f 。 事实上， 是依赖于 y 的，极限的存在性还难以确定
例2设f(x)在[a,b连续,求证 y(x)=f()snk(x-1)(其中ac∈a,b]) 满足微分方程y”+ky=f(x) 证令g(x,1)=f(1)snk(x-1),则 8_(x, t)=kf(cos k(x-1) 8(, t)=kf(sin k(x-o) 它们都在{a,b]×[a,b]上连续,则 y(x)= f(tcos k(x-t)dt f(rsin k(x-r)dt+f(x) ∫2f(1)snk(x-1)d+f(x)+∫2f()snk(x-1) f(x) 例3设f(x)为连续函数, hh F(x)=[lf(x+5+n)dnls 求F"(x) 解令x+5+ 则 F(x)=l[f(x+5+ndn]ds=ds f(u)du (x)=f(x+5+h5-f(x+5)引 在第一项中令x+5+h=u,在第二项中令x+5=,则 ∫/()dl
2 例 2 设 f (x) 在 [a,b] 连续，求证 = − x c f t k x t dt k y x ( )sin ( ) 1 ( ) （其中 a,c [a,b] ） 满足微分方程 ( ) 2 y + k y = f x 。 证 令 g(x,t) = f (t)sin k(x − t) ，则 g (x,t) kf(t)cos k(x t) x = − ， ( , ) ( )sin ( ) 2 g x t k f t k x t xx = − − 它们都在 [a,b][a,b] 上连续，则 = − x c y (x) f (t)cos k(x t)dt y (x) k f (t)sin k(x t)dt f (x) x c = − − + y k y 2 + k f (t)sin k(x t)dt f (x) x c = − − + + − x c k f (t)sin k(x t)dt = f (x) 例 3 设 f (x) 为连续函数， F x f x d d h h ( ) [ ( ) ] 0 0 = + + 求 F(x) 。 解 令 x + + = u ，则 F x f x d d h h ( ) [ ( ) ] 0 0 = + + + + + = x h x h d f u du ( ) 0 ( ) [ ( ) ( ) ] 0 0 = + + − + h h F x f x h d f x d 在第一项中令 x + + h = u ，在第二项中令 x + = u ，则 ( ) [ ( ) ( ) ] 2 + + + = − x h x x h x h F x f u du f u du
F"(x)=[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x) 问题2是否有 F(x)=[f(x+5+)dnlds f(x+5+ndnlds 例4利用积分号下求导法求积分 (a) arctan( a tan x) lak 1 解令f(x,a)= ctan(a tan x) tan x x=0,时,∫无定义,但lmf(x,a)=a,lmf(x,a)=0,故补充定义 x→0 f(0,a)=a,f( 0 则∫在[0,2x]×[-b,b连续(0<b<1),从而I(a)在(-1,1)连续。 ∈(0,),|ak fa(x 0. 0,,|ak 显然/(x0)在x=2点不连续,但J(x2)分别在027x(-10)和[Q2x1×(1)连续, 故有 I'(a)=f(x,a)dx= 1+a- tanx dx,a∈(-1,0)或a∈(0,) 令tanx=t 1#1+a2t2-a2t2 (a)= (1+t2)1+a212) 1-a2(1+t2)(1+at2)2(+|a a∈(-1,0)或a∈(O,1) 积分之 /(a)=ln1+a)+C1,a∈(0,1) /(a)=--ln(l-a)+C2,a∈(-1,0)
3 F(x) = [ f (x + 2h) − 2 f (x + h) + f (x)] 问题 2 是否有 f x d d x F x h h ( ) [ ( ) ] 0 0 + + = f x d d x h h [ ( ) ] 0 0 + + = 例 4 利用积分号下求导法求积分 dx x a x I a = / 2 0 tan arctan( tan ) ( ) ， | a | 1 解 令 x a x f x a tan arctan( tan ) ( , ) = 2 0, x = 时， f 无定义，但 f x a a x = → + lim ( , ) 0 ， lim ( , ) 0 2 = − → f x a x ，故补充定义 f (0, a) = a， , ) 0 2 f ( a = 则 f 在 [0,2 ][−b,b] 连续（ 0 b 1 ），从而 I(a) 在 (−1,1) 连续。 = + = , | | 1 2 0, 0, ), | | 1 2 , (0, 1 tan 1 ( , ) 2 2 x a x a a x f a x a 显然 f (x,0) a 在 2 x = 点不连续，但 f (x,a) a 分别在 [0,2 ] (−1,0) 和 [0,2 ] (0,1) 连续， 故有 = / 2 0 ( ) ( , ) I a f x a dx a + = / 2 0 2 2 1 tan 1 dx a x ， a (−1,0) 或 a (0,1) 令 tan x = t + + + = 0 2 2 2 (1 )(1 ) 1 ( ) dt t a t I a + + + + − − − = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) 1 1 1 dt t a t a t a t a a + + − − + = 0 2 2 2 2 2 ] (1 ) (1 ) 1 [ 1 1 dt a t a a t 2(1+ | a |) = ， a (−1,0) 或 a (0,1) 积分之 1 ln(1 ) 2 I(a) = + a + C ， a (0,1) 2 ln(1 ) 2 I(a) = − − a + C ， a (−1,0)
因为I(a)在(-1,1)连续,故 (0)=lim/(a)=0=lim/(a) 得C1=C2=0,从而得 丌 (a)=sgn aIn(l+ad, akI 例5利用积分号下求导求积分 L(a) ,(n为正整数,a>0) 解因为 (x2+0个x a≥a0>0 d x 而 收敛,故In(a)= 在a≥a>0一致收敛。 +a) 因为 x+a 3/2 d x (-)(-)a2512 x+ a 由数学归纳法易证 dJx2+a=(-川a+ay (2n-1) 于是ln(a)= (x2+a)2(2n)! 例6证明(1) Je- sin ydx关于y∈[0+∞)一致收敛 (2)∫esmy关于x∈D+∞)不一致收敛
4 因为 I(a) 在 (−1,1) 连续，故 (0) lim ( ) 0 0 = = → + I I a a lim ( ) 0 I a a→ − = 得 C1 = C2 = 0 ，从而得 sgn ln(1 | |) 2 I(a) = a + a ， | a | 1 例 5 利用积分号下求导求积分 + + + = 0 2 1 ( ) ( ) n n x a dx I a ， （ n 为正整数， a 0 ） 解 因为 1 0 2 1 2 ( ) 1 ( ) 1 + + + + n n x a x a ， a a0 0 而 + + + 0 1 0 2 ( ) n x a dx 收敛，故 + + + = 0 2 1 ( ) ( ) n n x a dx I a 在 a a0 0 一致收敛。 因为 a a x x a a dx 2 arctan 1 | 0 0 2 = = + + + 故 = + + 0 2 x a dx da d + + − 0 2 2 (x a) dx 3 / 2 ) 2 1 ( 2 − = − a = + + 0 2 2 2 x a dx da d + + 0 2 3 ( ) 2 x a dx 5 / 2 ) 2 3 )( 2 1 ( 2 − = − − a 由数学归纳法易证 = + + 0 2 x a dx da d n n + + + − 0 2 1 ( ) ( 1) ! n n x a dx n 2 2 1 2 (2 1)!! ( 1) 2 + − − = − n n n a n 于是 + + + = 0 2 1 ( ) ( ) n n x a dx I a 2 2 1 (2 )!! (2 1)!! 2 + − − = n a n n 例 6 证明（1） + − 1 sin 2 e ydx yx 关于 y [0,+) 一致收敛； （2） + − 1 sin 2 e ydy yx 关于 x [0,+) 不一致收敛
证(1)用分段处理的方法。A>1,y>0,令√yx=t得 e sin ydx|彐 sin y ∫e- dt|s1 e-dh 因为li =0,则VE>0,3>0,当00, 丑4>1,VA>A,有 je- i sin ydx a,vy≥6 (2) 上式对y=0显然成立,结合(1)(2)式,有 sin ydx a 即 Resin ydx关于y∈[O+∞)一致收敛 (2)因为x=0时,Jsmy发散,因此 Je" sin ydy关于x∈+)不可能一致 收敛。 例7计算积分edx 解
5 证 （1）用分段处理的方法。 A 1， y 0， 令 yx = t 得 | sin | 2 + − A yx e ydx | sin | 2 + − = yA t e dt y y + − 0 2 | sin | e dt y y t | sin | 2 y y = 因为 0 sin lim 0 = → + y y y ，则 0， 0 ，当 0 y 时，有 | sin | 2 + − A yx e ydx | sin | 2 y y （1） 又 2 2 | sin | yx x e y e − − ， y 而 + − 1 2 e dx x 收敛，由 M 判别法， + − 1 sin 2 e ydx yx 在 y [ ,+) 一致收敛，即 0， A0 1，A A0 ，有 + − | sin | 2 A yx e ydx ，y （2） 上式对 y = 0 显然成立，结合（1）（2）式，有 + − | sin | 2 A yx e ydx ， y [0,+) 即 + − 1 sin 2 e ydx yx 关于 y [0,+) 一致收敛。 （2）因为 x = 0 时， + 1 sin ydy 发散，因此 + − 1 sin 2 e ydy yx 关于 x [0,+) 不可能一致 收敛。 例 7 计算积分 + − + 0 ( ) 2 2 2 e dx x a x 。 解 + − + 0 ( ) 2 2 2 e dx x a x + − − − = 0 ( ) 2 2 e dx a x a x + − − − = 0 ( ) 2 2 e e dx x a x a 令 t x a x − =
le dt (+x)dr= Je i' 在第二项积分中令 得 + 故 dx 2 6
6 + − − e dt t 2 + − − = + 0 2 ( ) (1 ) 2 dx x a e x a x + − − = 0 ( ) 2 e dx x a x + − − − 0 ( ) 2 x a e d x a x 在第二项积分中令 y x a − = ，得 + − − − 0 ( ) 2 x a e d x a x + − − = 0 ( ) 2 e dy y a y 故 + − + 0 ( ) 2 2 2 e dx x a x + − − − = 0 ( ) 2 2 e e dx x a x a a e 2 2 − =