第八章实数的完备性 实数连续性的等价描述 1.求数列{Jn}的上、下确界: (2)xn=n2+(-2)"] (3)x2k=k,x2k1=1+(k=1,2,3,…), (4)xn=[1+(-1)] (5)x=Ⅵ+2m-y 2nT 2.设f(x)在D上定义,求证: (1) sup(-f(x)=-inf f(x) (2)inf f(x)=-sup f(x) 3.设B=supE,且B=E,试证自E中可选取数列{xn}且x互不相同,使 lim x=B 又若B∈E,则情形如何? 4.试证收敛数列必有上确界和下确界,趋于+∞的数列必有下确界,趋于-∞的数列 必有上确界 5.试分别举出满足下列条件的数列 (1)有上确界无下确界的数列 (2)含有上确界但不含有下确界的数列 (3)既含有上确界又含有下确界的数列 (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列,其中上、下确界都有限 2实数闭区间的紧致性 利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4 2.利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限 3.用区间套定理证明单调有界数列必有极限 4.试分析区间套定理的条件:若将闭区间列改为开区间列,结果怎样?若将条件 [a1,b]→[a2,b]=…去掉或将条件b-an→0去掉,结果怎样?试举例说明
第八章 实数的完备性 1 实数连续性的等价描述 1．求数列{Jn}的上、下确界： (1) 1 1 ; n x n = − (2) [2 ( 2) ]; n n x n = + − (3) 2 2 1 1 , 1 ( 1,2,3, ); k k x k x k k = = + = + (4) 1 [1 ( 1) ] ; n n n x n + = + − (5) ( 1) 1 2 ; n n n n x − = + (6) 1 2 cos . 1 3 n n n x n − = + 2．设 f x( ) 在 D 上定义，求证： (1) sup{ ( )} inf ( ); x D x D f x f x − = − (2) inf{ ( )} sup ( ). x D x D f x f x − = − 3．设 = sup E ，且 E ，试证自 E 中可选取数列 { }n x 且 n x 互不相同，使 lim n x x → = ； 又若 E ，则情形如何? 4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于 + 的数列必有下确界，趋于 − 的数列 必有上确界． 5．试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列； (2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列； (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 2 实数闭区间的紧致性 1．利用有限覆盖定理 9．2 证明紧致性定理 9．4． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件 1 1 2 2 [ , ] [ , ] a b a b 去掉或将条件 0 n n b a − → 去掉，结果怎样?试举例说明．
5.若{xn}无界,且非无穷大量,则必存在两个子列x→∞,x→>a(a为有限数 6.有界数列{xn}若不收敛,则必存在两个子列xn→>a,xm→>b(a≠b) 7.求证:数列{an}有界的充要条件是,{an}的任何子数列{an}都有收敛的子数列 8.设∫(x)在[a,b]上定义,且在每一点处函数的极限存在,求证:f(x)在[a,b]上有 界 9.设f(x)在[a,b无界,求证:存在c∈[a,b],对任给d>0,函数f(x)在 (c-6,c+δ)n[a,b上无界. 10.设∫(x)是(a,b)上的凸函数,且有上界,求证:limf(x),limf(x)存在 1l.设∫(x)在[a,b]上只有第一类间断点,定义 O(x)=f(x+0)-f(x-0) 求证:任意E>0,O(x)≥E的点x只有有限多个 12.设∫(x)在[0,+∞)上连续且有界,对任意a∈(-∞,+∞) f(x)=a在[0,+∞)上只有有限个根或无根,求证:limf(x)存在 3实数的完备性 1,设∫(x)在(a,b)连续,求证:f(x)在(a,b)一致连续的充要条件是 limf(x)与limf(x)都存在, 2.求证数列x=1++“+当n→时的极限不存在 3.利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性: (1)xn=a0+a1q+a2q+…+anq"(qkl,|akM); sin1 sin 2 (2)xn=1+ (3)x=1-1++…+-y1 证明limf(x)存在的充要条件是:对任意给定E>0,存在δ>0,当
5．若 { }n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 , k k n m x x a → → ( a 为有限数)． 6．有界数列 { }n x 若不收敛，则必存在两个子列 , ) k k n m x a x b b → → ( ． 7．求证：数列 { }n a 有界的充要条件是， { }n a 的任何子数列 { } k n a 都有收敛的子数列． 8．设 f x( ) 在 [ , ] a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证： f x( ) 在 [ , ] a b 上有 界． 9．设 f x( ) 在 [ , ] a b 无界，求证：存在 c a b [ , ] ，对任给 0 ，函数 f x( ) 在 ( , ) [ , ] c c a b − + 上无界． 10．设 f x( ) 是 ( , ) a b 上的凸函数，且有上界，求证： lim ( ), lim ( ) x a x b f x f x → → + − 存在． 11．设 f x( ) 在 [ , ] a b 上只有第一类间断点，定义 ( ) | ( 0) ( 0) |. x f x f x = + − − 求证：任意 0, ( ) x 的点 x 只有有限多个． 12．设 f x( ) 在 [0, ) + 上连续且有界，对任意 a − + ( , ) ， f x a ( ) = 在 [0, ) + 上只有有限个根或无根，求证： lim ( ) x f x →+ 存在． 3 实数的完备性 1，设 f x( ) 在 ( , ) a b 连续，求证： f x( ) 在 ( , ) a b 一致连续的充要条件是 lim ( ) x a f x → + 与 lim ( ) x b f x → − 都存在， 2．求证数列 1 1 1 2 n x n = + + + 当 n → 时的极限不存在． 3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) 0 1 2 (| | 1,| | ); n n n k x a a q a q a q q a M = + + + + (2) 2 sin1 sin 2 sin 1 ; 2 2 2 n n n x = + + + + (3) 1 1 11 1 ( 1) . 2 3 n n x n + = − + + + − 4 ．证明 0 lim ( ) x x f x → 存在的充要条件是：对任意给定 0 ，存在 0 ， 当
00,存在δ>0,当 0<x2-x0ko,04x"-x0kd时,恒有 If(x)-f(x")ka 6.证明下列极限不存在: n一 (1)x COS +2m-1 (3)x=sin(n+n) (4)x=cosn 7.设f(x)在(a,+∞)上可导,|∫(x)单调下降,且limf(x)存在,求证 lim xf(x)=0 设f(x)在(-∞,+∞)可导,且f(x)|k<1,任给x,令 f(xn)(n=0,,2,…) 求证 (1)limx存在 (2)上述极限为x=f(x)的根,且是唯一的 9.设f(x)在[a,b]满足条件: (1)f(x)-fokkx-ylVx,yela, b,0<k<I (2)f(x)的值域包含在[a,b]内 则对任意x0∈[a,b],令xn+1=f(xn)(n=0,1,2,…),有 (1) lim x存在;
0 0 0 | ' | , 0 | '' | − − x x x x 时，恒有 | ( ') ( '') | . f x f x − 5 ． 证 明 f x( ) 在 0 x 点 连续的充要条件是：任给 0 ，存在 0 ， 当 0 0 0 | ' | , 0 | '' | − − x x x x 时，恒有 | ( ') ( '') | . f x f x − 6．证明下列极限不存在： (1) 1 2 cos ; 1 3 n n n x n − = + (2) ( 1) 1 2 ; n n n n x − = + (3) 2 sin( ); n x n n = + (4) cos ; n x n = (5) tan . n x n = 7 ． 设 f x( ) 在 ( , ) a + 上可导， | '( ) | f x 单调下降，且 lim ( ) x f x →+ 存在，求证 lim '( ) 0 x xf x →+ = ． 8．设 f x( ) 在 ( , ) − + 可导，且 | '( ) | 1 f x k ，任给 0 x ，令 1 ( ) ( 0,1,2, ), n n x f x n + = = 求证， (1) lim n x x → 存在； (2) 上述极限为 x f x = ( ) 的根，且是唯一的． 9．设 f x( ) 在 [ , ] a b 满足条件： (1) | ( ) ( ) | | |, , [ , ], 1; f x f y k x y x y a b k − − (2) f x( ) 的值域包含在 [ , ] a b 内． 则对任意 0 x a b [ , ] ，令 1 ( )( 0,1,2, ) n n x f x n + = = ，有 (1) lim n x x → 存在；
(2)方程x=f(x)的解在[a,b]上是唯一的,这个解就是上述极限值 4再论闭区间上连续函数的性质 1·设∫(x)在[ab]上连续,并且最大值点x是唯一的,又设x∈[a,b],使 imf(xn)=f(x0),求证 limx=x 2.设f(x)在[ab]上连续,可微,又设 (1) min f(x)0,求证:存在5∈(a,b),使∫()=0, 且f(x)>0(5<x≤b) 4.设∫(x)是[a,b]上的连续函数,其最大值和最小值分别为M和m(m<M),求证: 必存在区间[a,B],满足条件 (1f(a)=M,f(B)=maf(a=m,f(=M: (2)m<f(x)<M,当x∈(a,B) 5.f(x)在[0,2a]连续,且f(O)=f(2a),求证:存在x∈[0,a],使f(x)=f(x+a) 6.设f(x)在[anb]上连续,且取值为整数,求证:f(x)≡常数 7.设∫(x)在(a,b)上一致连续,a,b≠±∞,证明∫(x)在(a,b)上有界; 8.若函数f(x)在(a,b)上满足利普希茨( Dipshit)条件,即存在常数k,使得 f(x")-f(x")k≤K 证明:f(x)在(a,b)上一致连续
(2)方程 x f x = ( ) 的解在 [ , ] a b 上是唯一的，这个解就是上述极限值． 4 再论闭区间上连续函数的性质 1．设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，并且最大值点 0 x 是唯一的，又设 0 x a b [ , ] ，使 0 lim ( ) ( ) n x f x f x → = ，求证 0 lim n x x x → = 2．设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，可微，又设 (1) min ( ) max ( ); a x b a x b f x p f x (2) 如果 f x p ( ) = ，则有 f x'( ) 0 ， 求证： f x p ( ) = 的根只有有限多个． 3．设 f x( ) 在 [ , ] a b 连续， f a( ) 0 ， f b( ) 0 ，求证：存在 ( , ) a b ，使 f ( ) 0 = ， 且 f x x b ( ) 0( ) ． 4．设 f x( ) 是 [ , ] a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为 M 和 m m M ( ) ，求证： 必存在区间 [ , ] ，满足条件： (1) f M f m ( ) , ( ) = = 或 f m f M ( ) , ( ) = = ； (2) m f x M ( ) ，当 x( , ) ． 5．f x( ) 在 [0, 2 ] a 连续，且 f f a (0) (2 ) = ，求证：存在 x a [0, ] ，使 f x f x a ( ) ( ) = + ． 6．设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，且取值为整数，求证： f x( ) 常数． 7．设 f x( ) 在 ( , ) a b 上一致连续， a b, ，证明 f x( ) 在 ( , ) a b 上有界； 8．若函数 f x( ) 在 ( , ) a b 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数 K ，使得 | ( ') ( '') | | ' '' |, ', '' ( , ). f x f x K x x x x a b − − 证明： f x( ) 在 ( , ) a b 上一致连续．
9.试用一致连续的定义证明:若函数f(x)在[a,C]和[c,b]上都一致连续,则f(x)在 [a,b]上也一致连续 10.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且limf(x)与limf(x)存在.证明;f(x)在 (-∞,+∞)上一致连续 11.若f(x)在区间X(有穷或无穷)中具有有界的导数,即f(x)M,x∈X,则 f(x)在X中一致连续 12.求证:f(x)=√xhnx在(0,+∞)上一致连续 13.设f(x)在(a,+∞)上可导,且limf∫(x)=+0,求证:f(x)在(a,+∞)上不一致 连续 14.求证:f(x)=xlnx在(O,+∞)上不一致连续 可积性 1.判断下列函数在区间[0,1上的可积性: (1)f(x)在0上有界,不连续点为x、(n=12,…) (2)f(x)= sgn(sin-),x∈(0,1] ∈(0,1 (3)f(x)={x 0, (4)f(x)= 0 2.讨论f(x),f2(x),|f(x)三者间可积性的关系 3.设f(x),g(x)都在[a,b]上可积,证明:
9．试用一致连续的定义证明：若函数 f x( ) 在 [ , ] a c 和 [ , ] c b 上都一致连续，则 f x( ) 在 [ , ] a b 上也一致连续． 10．设 f x( ) 在 ( , ) − + 上连续，且 lim ( ) x f x →− 与 lim ( ) x f x →+ 存在．证明； f x( ) 在 ( , ) − + 上一致连续． 11．若 f x( ) 在区间 X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即 | '( ) | , f x M x X ，则 f x( ) 在 X 中一致连续． 12．求证： f x x x ( ) ln = 在 (0, ) + 上一致连续． 13．设 f x( ) 在 ( , ) a + 上可导，且 lim '( ) x f x →+ = + ，求证： f x( ) 在 ( , ) a + 上不一致 连续． 14．求证： f x x x ( ) ln = 在 (0, ) + 上不一致连续． 5 可积性 1．判断下列函数在区间 [0,1] 上的可积性： (1) f x( ) 在 [0,1] 上有界，不连续点为 1 x n( 1, 2, ) n = = ； (2) sgn(sin ), (0,1], ( ) 0, 0; x f x x x = = (3) 1 1 , (0,1], ( ) 0, 0; x f x x x x − = = (4) 1 , (0,1], 1 ( ) 0, 0. x f x x x = = 2．讨论 2 f x f x f x ( ), ( ),| ( ) | 三者间可积性的关系． 3．设 f x g x ( ), ( ) 都在 [ , ] a b 上可积，证明：
M(x)=max(f(x),g(x)), m(x)=min(f(x),g(x)) 在[a,b]上也是可积的 4.设f(x)在[a,b]上可积,且f(x)≥r>0,求证: 在[a,b]可积 (2)lnf(x)在[a,b]可积 设f(x)在[a,b]可积,求证:任给E>0,存在逐段为常数的函数q(x),使 ∫1()-(x)a<s 6.设f(x)在[a,b]上有界,定义 orla,b]=sup f(x)-inf f(x). 求证 oa,b=sup|f(x)-f(x”) x,x∈a,b 7.设f(x)在x附近有定义且有界,定义 o (ro)=lim xo-,xo+ 求证:f(x)在x连续的充分必要条件为O(x0)=0 8.若函数f(x)在[A,B可积,证明 lim If(x+h)-f(x)ldx=0, h→0Ja 其中A<a<b<B(这一性质称为积分的连续性) 9.f(x)≥0,f"(x)≤0,对任意省仨x∈[a,b成立,求证 f(x)≤ ∫f 0.设∫(x)在[{a,b]有连续的导函数,求证 max|f(x)图 f(x)dx|+I/'(x)ldx 1l.设f(x)在[a,b]可积,求证;存在连续函数序列qn(x),n=1,2,…,使
M x f x g x m x f x g x ( ) max( ( ), ( )), ( ) min( ( ), ( )) = = 在 [ , ] a b 上也是可积的． 4．设 f x( ) 在 [ , ] a b 上可积，且 f x r ( ) 0 ，求证： (1) 1 f x( ) 在 [ , ] a b 可积； (2) ln ( ) f x 在 [ , ] a b 可积． 5．设 f x( ) 在 [ , ] a b 可积，求证：任给 0 ，存在逐段为常数的函数 ( ) x ，使 | ( ) ( ) | . b a f x x dx − 6．设 f x( ) 在 [ , ] a b 上有界，定义 [ , ] [ , ] [ , ] sup ( ) inf ( ), f x a b x a b a b f x f x = − 求证 ', '' [ , ] [ , ] sup | ( ') ( '') | . f x x a b a b f x f x = − 7．设 f x( ) 在 0 x 附近有定义且有界，定义 0 0 0 1 1 ( ) lim , . f n x x x n n →+ = − + 求证： f x( ) 在 0 x 连续的充分必要条件为 0 ( ) 0 f x = ． 8．若函数 f x( ) 在 [ , ] A B 可积，证明： 0 lim | ( ) ( ) | 0, b h a f x h f x dx → + − = 其中 A a b B (这一性质称为积分的连续性)． 9． f x f x ( ) 0, ''( ) 0, 对任意省仨 x a b [ , ] 成立，求证： 2 ( ) ( ) . b a f x f x dx b a − 10．设 f x( ) 在 [ , ] a b 有连续的导函数，求证： 1 max | ( ) | | ( ) | | '( ) | . b b a x b a a f x f x dx f x dx b a + − 11．设 f x( ) 在 [ , ] a b 可积，求证；存在连续函数序列 ( ), 1,2, n x n = ，使
lim[9n(x)dx=f(r)dx 12.设∫(x)在[a,b]黎曼可积,求证: (1)存在区间序列{[a,b]}使 La,l,bmc(am, b)c(a, b), 且O,(an2bn)< (2)存在c∈∩an,b2],使得f(x)在c点连续: (3)f(x)在[ab]上有无穷多个连续点
lim ( ) ( ) . b b n n a a x dx f x dx → = 12．设 f x( ) 在 [ , ] a b 黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列 {[ , ]} a b 使 1 1 [ , ] ( , ) ( , ), n n n n a b a b a b + + 且 1 ([ , ]) f n n a b n ； (2) 存在 1 [ , ] n n n c a b = ，使得 f x( ) 在 c 点连续； (3) f x( ) 在 [ , ] a b 上有无穷多个连续点．