Ch2-48 §23连续型随机变量 连续型随机变量的概念 定义设X是随机变量,若存在一个非负 可积函数f(x),使得 F(x)=/(od-0<x<x+ 其中F(x)是它的分布函数 则称X是连续型随机变量,(x是它的 概率密度函数(pdf.),简称为密度函数 或概率密度
Ch2-48 §2.3 连续型随机变量 定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得 = − + − F x f t t x x ( ) ( )d 其中F ( x )是它的分布函数 则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的 概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度 连续型随机变量的概念
Ch2-49 分布函数与密度函数 几何意义 fc F(x) y=f() X x
Ch2-49 -10 -5 5 0.02 0.04 0.06 0.08 x f ( x) x F ( x ) 分布函数与密度函数 几何意义 y = f (x)
Ch2-50 pdf(x)的性质 口f(x)≥0 日f(x)dx=F(+a)=1 常利用这两个性质检验一个函数能 否作为连续性随机变量的密度函数, 日在f(x)的连续点处 f(=F( f(x)描述了X在x附近单位长度的 区间内取值的概率
Ch2-50 p.d.f. f ( x )的性质 ❑ f (x) 0 ❑ ( )d = (+) =1 + − f x x F 常利用这两个性质检验一个函数能 否作为连续性随机变量的密度函数， ❑ 在 f ( x ) 的连续点处， f (x) = F(x) f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率
积分Fx)=[f(d-∞+0 =1m P(x+0 f(x)Ax≈P(x<X≤x+△) 密度长度「线段质量
Ch2-51 x F x x F x F x x ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = →+ x P x X x x x ( ) lim 0 0 0 + = →+ ( ) 0 = f x = − + − F x f t t x x 积分 ( ) ( )d 不是Cauchy 积分，而是Lesbesgue 意义下 的积分，所得的变上限的函数是绝对连续 的，因此几乎处处可导 ( ) ( ) 0 0 0 f x x P x X x + x 密度长度 线段质量
注意:对于连续型随机变量X,P(X=a)=0 其中a是随机变量ⅹ的一个可能的取值 事实上(X=a)c(a-Ax0 0≤P(X=a)≤P(a-x<Xsa)=f(x)d l-4 0≤P(X=a)≤imCf(x)dx=0 P(X=a)=0 命题连续随机变量取任一常数的概率为零 强调概率为0(1)的事件未必不发生(发生)
Ch2-52 注意: 对于连续型随机变量X , P(X = a) = 0 其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值 0 P(X = a) P(a − x X a) − = a a x f x x ( )d →+ − = a x a x P X a f x x 0 ( ) lim ( )d 0 = 0 P(X = a) = 0 命题 连续随机变量取任一常数的概率为零 强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生) 事实上 (X = a) (a − x X a) x 0
Ch253 对于连续型随机变量X P(a<X≤b)=Pa≤X≤b) =Past<b) f(xy =P(a≤X<b f(rdx =F(b)-F(a) b
Ch2-53 对于连续型随机变量 X P(a X b) = P(a X b) = P(a X b) = P(a X b) = F(b) − F(a) b x f ( x) -10 -5 5 0.02 0.04 0.06 0.08 a = b a f (x)d x
P(X≤b)=P(Xa=P(X2a=1-F(a f(x)个 a X
Ch2-54 P(X b) = P(X b) = F(b) P(X a) = P(X a) =1− F(a) x f ( x) -10 -5 5 0.02 0.04 0.06 0.08 a
例1已知某型号电子管的使用寿命X为连 续随机变量,其密度函数为 x>1000 f(x)=x 0,其他 (1)求常数c (2)计算P(X≤170100×X<200 (3)已知一设备装有3个这样的电子管,每个 电子管能否正常工作相互独立,求在使用的 最初1500小时只有一个损坏的概率
Ch2-55 例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连 续随机变量, 其密度函数为 = 0, 其他 , 1000 ( ) 2 x x c f x (1) 求常数 c (3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个 电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的 最初1500小时只有一个损坏的概率. (2) 计算 P(X 1700 1500 X 2000)
Ch 解(1)令f(x)x=「 1000 2dx=1 =1000 (2)P(X≤17001500<X<2000 =x0005020 =P(1500<Xs1700/P1500<X<200 7001000 2000 1000 d x d x 1500 500 X /124 ≈04706 51/651
Ch2 -56 解 (1) 令 ( ) d d 1 1000 2 = = + + − x xc f x x c = 1000 P ( X 1700 1500 X 2000 ) (2) = P ( X 1700,1500 X 2000 ) P (1500 X 2000 ) = P (1500 X 1700 ) P (1500 X 2000 ) = 1700 1500 2 d 1000 x x 2000 1500 2 d 1000 x x 514 = 61 0.4706 . 51 24 =
Ch2-57 3) 设4表示—个电子管的寿命小于1500小时 rl501000,1 P(A)=P0≤X<1500=ydx= 设在使用的最初1500小时三个电子管中 损坏的个数为YB(3 3丿 P(Y=D)=P0=c(3人3)9
Ch2-57 (3) 设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时 P(A) = P(0 X 1500) 3 1 d 1500 1000 1000 2 = = x x 设在使用的最初1500小时三个电子管中 损坏的个数为 Y 3 1 ~ B 3, 9 4 3 2 3 1 ( 1) (1) 2 1 3 3 = P Y = = P = C