《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第二章 随机变量及其分布（2.2）离散型随机变量及其概率分布

Ch2-12 §22离散型随机变量及其概率分布 离散随机变量及分布律 定义若随机变量ⅹ的可能取值是有限 个或可列个,则称X为离散型随机变量 描述κ的概率特性常用概率分布或分布律」 即P(x=x)=n,k=12 成F r k PP1p2…Pk…

Ch2-12 §2.2离散型随机变量及其概率分布 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量 描述X 的概率特性常用概率分布或分布律 P(X = xk ) = pk , k =1,2,  X x1 x2  xk  P p1 p2  pk  或 离散随机变量及分布律 即

Ch2-13 或x~「xx2 k p, pk 分布律的性质 Pk≥0,k=1,2 非负性 口∑P 规范性 k=1

Ch2-13 分布律的性质 ❑ pk  0, k =1,2,  非负性 ❑ 1 1  =  k= k p 规范性 或 X ~ x1 x2  xk  p1 p2  pk 

Ch2-14 离散随机变量及分布函数 F(x)=P(X≤x)=P(∪(X=x) ∑P(X=x)=∑P xh≤x xh≤x k)-Flr Pk=P(X=xx)=F(k) k-1 其中xk1<xk (x)是分段阶梯函数,在X的可能取 值x处发生间断,间断点为第一类跳跃间 断点在间断点处有跃度pk

Ch2-14 F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk . 离散随机变量及分布函数 ( ) ( ) ( ) k = = k = k − k−1 p P X x F x F x ( ) ( ) (( )) x x k k F x P X x P X x  =  = =     = = = x x k x x k k k P(X x ) p 其中 . k k x  x −1

例1设汽车在开往甲地途中需经 出出过4盏信号灯每盏信号灯独立地 以概率p允许汽车通过.令X表示 首次停下时已通过的信号灯盏数,求X的概 率分布与p=04时的分布函数. 解米米米米 出发地 甲地 P(x=)=p2(-p,k=023 P(X=4)=p,k=4

Ch2-15 P(X = k) = p (1− p), k = 0,1,2,3 k 解 ( 4) , 4 4 P X = = p k = 例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 出发地 甲地 首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数. 令 X 表示

当p=04 Ch2-16 k01 2 Pk0.604060420.60430.604 x01234 x<0 F(x)06 0≤x<1 Ps=06+06×04 1<x<2 06+06×0.4+06×0.422≤x<3 0.6(1+04+042+0.43),3≤x<4 x≥4

Ch2-16 • 0 • 1 • 2 • 3 • 4 x x ] ] 0.6 + 0.60.4, 1 x  2 0.6, 0  x 1 0, x  0 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4 , 2 +  +  2  x  3 0.6(1 0.4 0.4 0.4 ), 2 3 + + + 3  x  4 1 x  4 F(x) ]• • ] k pk 0 1 2 3 4 0.6 0.4 0.6 0.42 0.6 0.43 0.6 0.44 当 p = 0.4 P(X  x) =

Ch2-17 F(x) 0 1234 X

Ch2 -17 • 0 •1 •2 •3 •4 x F( x ) o• o 1 • • o• o• o

Ch2-18 用分布律或分布函数来计算事件的概率 例2在上例中,分别用分布律与分布函数计 算下述事件的概率 P(1≤X≤3),P(X≥2) 解P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =0.6(0.4+0.42+0.4)=0.3744 或P(≤X≤3)=P<X≤3)+P(X=1) =F(3)-F(1-0) 0.9744-0.6=0.3744

Ch2-18 用分布律或分布函数来计算事件的概率 例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算下述事件的概率： P(1 X  3), P(X  2). 解 P(1 X  3) = P(X =1) + P(X = 2) + P(X = 3) 0.6(0.4 0.4 0.4 ) 0.3744 2 3 = + + = 或 P(1 X  3)= P(1 X  3) + P(X =1) = 0.9744−0.6 = 0.3744. = F(3) − F(1− 0)

Ch2-19 P(X≥2)=1-P(X2

Ch2-19 1 0.84 0.16 1 ( 0) ( 1) ( 2) 1 ( 2) = − = = − = − =  = −  P X P X P X P X   0.16 1 (2 0) 1 ( 2) ( 2) ( 2) 1 ( 2) = = − − = −  − =  = −  F P X P X P X P X 或 此式应理解为极限 lim ( ) 2 F x x→ −

Ch2-20 例3一门大炮对目标进行轰击假定此目标 必须被击中次才能被摧毁.若每次击中目 标的概率为(0<p<1),且各次轰击相互独 立,一次次地轰击直到摧毁目标为止求所需 轰击次数X的概率分布. 解P(X=)=P前k-1次击中r-1次, 第k次击中目标) =Ckp(-p)}·p 帕斯卡口=Cp(1-p)k=,+1… 分布

Ch2-20 例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标 必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目 标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独 立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需 轰击次数 X 的概率分布. 解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标) C p p p r r k r k = −  − − − − (1 ) 1 1 1 r r k r k C p p − − = − (1− ) 1 帕斯卡 1 k = r,r +1,  分 布

Ch2-21 注∑Cp(1-p)=1 利用幂级数在收敛域內可逐项求导的性质 当|xk1∑x k-1 x ∑(k-1x2=-1 (1 2 ∑(k-1)k-2)x x (1-x)3

Ch2-21 注 (1 ) 1 1  1 − =  = − − − k r r r k r k C p p 利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质 x x k k −  =  = − 1 1 1 1 2 2 2 (1 ) 1 ( 1) x k x k k −  − =  = − 当 | x |1 3 3 3 (1 ) 2 ( 1)( 2) x k k x k k −  − − =  = − 3 3 2 3 1 (1 ) 1 x C x k k k −  =  = − −