Ch4-48 542方差 引例甲、乙两射手各打了6发子弹每发 子弹击中的环数分别为 甲10,7,9,8,10,6, 乙8,7,10,9,8,8.,有 四 有五个不 问哪一个射手的技术较好?个同 解首先比较平均环数 不数 甲=8.3,乙=83 同数
Ch4-48 引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发 子弹击中的环数分别为： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？ 解 首先比较平均环数 甲 = 8.3, 乙 = 8.3 §4.2 方差 有 五 个 不 同 数 有 四 个 不 同 数
Ch4-49 再比较稳定程度 甲:2×(10-8.3)2+(9-8.3)2+(8-8.3)2 +(7-8.3)2+(6-832=1334 乙:(10-83)2+(9-8.3)2+3×(8-8,3 +(7-83)=534 乙比甲技术稳定,故乙技术较好
Ch4-49 再比较稳定程度 (7 8.3) (6 8.3) 13.34 2 (10 8.3) (9 8.3) (8 8.3) 2 2 2 2 2 + − + − = 甲： − + − + − 乙： (7 8.3) 5.34 (10 8.3) (9 8.3) 3 (8 8.3) 2 2 2 2 + − = − + − + − 乙比甲技术稳定，故乙技术较好
进一步比较平均偏离平均值的程度 Ch4-50 甲一[2×(10-83)+(9-83)+(8-8.3) +(7-8.3)2+(6-8.3)2] 1334/6=222∑( E(XPK k=1 乙[(10-8.3)2+(9-8.3)2 EIX-E(X12 +3×(8-83)2+(7-8.3)2] =534/6=089今∑(x-E(X) k=1
Ch4-50 进一步比较平均偏离平均值的程度 甲 (7 8.3) (6 8.3) ] [2 (10 8.3) (9 8.3) (8 8.3) 6 1 2 2 2 2 2 + − + − − + − + − 乙 3 (8 8.3) (7 8.3) ] [(10 8.3) (9 8.3) 6 1 2 2 2 2 + − + − − + − =13.34/ 6 = 2.22 = 5.34/ 6 = 0.89 ( ) = − 5 1 2 ( ) k k k x E X p ( ) = − 4 1 2 ( ) k k k x E X p E [X - E(X)]2
方差概念 Ch4-51 定义若EX-E()2存在,则称其为随机 变量X的方差,记为D(X)或Wr(X) 即D(X)=E[X-E(X]2 称、D(X)为X的均方差或标准差 两者量纲相同 D(X)——描述r、X的取值偏离平均值 的平均偏离程度 数
Ch4-51 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 称 D(X ) 为 X 的均方差或标准差. 方差概念 定义 即 D (X ) = E [X - E(X)]2 变量 X 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) 两者量纲相同 D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 —— 数
若X为离散型r.,分布律为 Ch4-52 P(X=x=Pk, k=1,2 D(X)=∑(x-E(X)p k=1 若ⅹ为连续型rv.,概率密度为∫(x) D(X)=(x-e(X)) f(r)d3 计算方差的常用公式 D(X)=E(X)-E(X
Ch4-52 P(X = xk ) = pk , k =1,2, 若 X 为离散型 r.v.，分布律为 ( ) + = = − 1 2 ( ) ( ) k k k D X x E X p 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) D(X ) (x E(X )) f (x)dx 2 + − = − 计算方差的常用公式： ( ) ( ) ( ) 2 2 D X = E X − E X
Ch4-53 方差的性质 日D(C=0 D(ax+6)=alD(X) 日D(aX)=a2D(X 日D(±Y)=D(X)+D() ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)) 特别地,若X,Y相互独立,处 D(X±Y)=D(X)+D(Y
Ch4-53 ❑ D (C) = 0 ❑ D (aX ) = a 2D(X) D(aX+b ) = a 2D(X) ❑ 2 (( ( ))( ( ))) ( ) ( ) ( ) E X E X Y E Y D X Y D X D Y − − = + 特别地，若X ,Y 相互独立，则 D(X Y) = D(X ) + D(Y) 方差的性质
Ch4 若X…X相互独立,a2…,anb为常数 则D∑aX1+b|=∑aD(X) 若X,Y相互独立DXY=D(X+D( E(XY=E(XEY 口对任意常数C,D(X)≤E(X-C)2, 当且仅当C=E(X)时等号成立 日D(X)=0 P(X=E(O)=1 称为X依概率1等于常数E(X)
Ch4-54 若 X Xn , , 1 相互独立， a a a b n , , , , 1 2 为常数 则 = = = + n i i i n i D aiXi b a D X 1 2 1 ( ) 若X ,Y 相互独立 D(X Y) = D(X ) + D(Y) E(XY) = E(X )E(Y) ❑ 对任意常数C, D (X ) E(X – C) 2 , 当且仅当C = E(X )时等号成立 ❑ D (X ) = 0 P (X = E(X))=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X)
14-61 常见随机变量的方差P19) 分布 棚率分布方差 参数为的P(X=1)=P 0-1分布 P(X=0)=1-p p(1-p) B(n,p) P(X=k)=CRp*(1-p)- np(I-p k=0.1.2.…n P() P(X=k k=012
Ch4-61 常见随机变量的方差(P.159 ) 分布 概率分布 方差 参数为p 的 0-1分布 P X p P X p = = − = = ( 0) 1 ( 1) p(1-p) B(n,p) k n P X k C p p k k n k n 0,1,2, , ( ) (1 ) = = = − − np(1-p) P() 0,1,2, ! ( ) = = = − k k e P X k k
Ch4-62 分布 概率密度方差 区间(a,b)上 的均匀分布()=b a 0, E( f(x) 0,其它 M2)(x)-1( 2 2丌o
Ch4-62 分布 概率密度 方差 区间(a,b)上 的均匀分布 = − 0, 其它 , , 1 ( ) a x b f x b a 12 ( ) 2 b − a E() = − 0, 其它 , 0, ( ) e x f x x 2 1 N(, 2 ) 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) − − = x f x e 2
Ch4-63 例4已知X,Y相互独立,且都服从 N(0,0.5),求E(|X-Y|) 解X~N(.0.5,y~N(0,0.5) E(X-Y)=0,D(X-)=1 故X-Y~N(0,1) E(X-YD=z z 2丌 2c+ ze 2 d 2兀
Ch4-63 例4 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ). 解 X ~ N(0,0.5),Y ~ N(0,0.5) E(X −Y) = 0,D(X −Y) =1 故 X −Y ~ N(0,1) E X Y z e dz z 2 2 2 1 (| |) | | + − − − = 2 2 2 2 0 2 = = + − ze dz z