《复变函数》第四章 解析函数的幂级数表示法

复变函数论课件 第四章解属教的级数示法

2021-2-22 复变函数 1 第四章 解析函数的幂级数表示法

第四章解析函数的幂级数表示法 第四章简介 名, 1复级数的基本性质 2幂级数 3解析函数的泰勒展式 4解析函数零点的孤立性和唯一性 2021-2-22 复变函数

2021-2-22 复变函数 2 1.复级数的基本性质 2.幂级数 3.解析函数的泰勒展式 第四章 解析函数的幂级数表示法 4.解析函数零点的孤立性和唯一性 第四章简介 退 出

级数是研究解析函数的一个重要工具。把解析函数表为级 数不但有理论上的意义,而且也有实用的意义。例如,利 用级数可以计算函数的近似值;在许多带应用性质的问题 中(如解微分方程等)也常常用到级数 本章将讨论把解析函数表示为幂级数的问题,对于和 数学分析中平行的结论,往往只叙述而不加以证明。 我们还将利用幂级数得出解析函数的一个充要条件。 2021-2-22 复变函数 返回

2021-2-22 复变函数 3 本章将讨论把解析函数表示为幂级数的问题，对于和 数学分析中平行的结论，往往只叙述而不加以证明。 我们还将利用幂级数得出解析函数的一个充要条件。 返回 级数是研究解析函数的一个重要工具。把解析函数表为级 数不但有理论上的意义，而且也有实用的意义。例如，利 用级数可以计算函数的近似值；在许多带应用性质的问题 中（如解微分方程等）也常常用到级数

§1.复级数的基本性质 0.预备知识 1复数项级数的概念 2.一致收敛的复函数项级数 3.解析函数项级数 4练习 返回 2021-2-22 复变函数

2021-2-22 复变函数 4 1.复数项级数的概念 2.一致收敛的复函数项级数 3.解析函数项级数 0.预备知识 § 1.复级数的基本性质 4.练习 返回 退 出

1复数项级数的概念 定义4.1对于复数项无穷级数 ∑an=a1+a2+…+an+ 4 令 Sn=C1+C2+…+n(部分和) 若复数列{snn∈N)收敛于复数s n→> 则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s 且称s为无穷级数的和记为s=∑an (返回 2021-2-22 复变函数

2021-2-22 复变函数 5 收敛于复数s, 1.复数项级数的概念 ..., 2 1 1             n n n  (4.1) s n    n      1 2 (部分和） s (n N ) n  s s n n   lim 则称复数项无穷级数（4.1）收敛于s, 记为 s =  n1 n 返回 定义4.1 对于复数项无穷级数 令 若复数列 且称s为无穷级数的和 即

若复数列Sn(n∈N)没有极限,则称级数发散 定理41设an=an+ibn(n=12…)an及b 为实数,则复级数(41)收敛于a+(ab为实数) 的充分必要条件为: 级数∑a,及∑b,分别收敛于a及b 证设 Bn=∑b,则 k k=1 Sn=An+iB(n=12,…) lim s=a+ib的充要条件为 n→)0 limA,=a及 lim B=b n→)00 n→0 2021-2-22 复变函数 口■6

2021-2-22 复变函数 6 若复数列s (n N ) n  没有极限， 定理4.1  n n n = a  ib (n 1,2,) an 及 b n 为实数, 则复级数（4.1）收敛于a+ib(a,b 为实数） 级数   n1 an   n1 bn 设 sn  n k k 1 =  , An  n k ak 1 = , Bn  n k bk 1 = ,则 sn = An + Bn i (n 1,2,) s n a ib n     lim 的充要条件为 l n i  m  An =a l n i  m  Bn =b 则称级数发散 及 分别收敛于a及b 的充分必要条件为： 及 设 证

例一考察级数∑/+ 的敛散性。 n=1(n 解因()、而∑2=5(2)是公比为与的等比 级数,因此其是收敛级数,则我们断定原级数发散 注1由数学分析的相应的部分,即数项级数那一部分, 有五个性质,而对于复级数也有相应的性质 注2由定理(4.1)可知,复数项级数的收敛性可以 完全转化为数分的数项级数的收敛性 2021-2-22 复变函数 ■7

2021-2-22 复变函数 7 例   n 1        n i n 2 1 的敛散性。 解:   n 1       n 1 发散，   n 1 2 1 n =   n 1       2 1 n 是公比为 2 1 级数, 注 1 因 而 的等比 因此其是收敛级数， 注2 由数学分析的相应的部分，即数项级数那一部分， 有五个性质，而对于复级数也有相应的性质 由定理（4.1）可知，复数项级数的收敛性可以 完全转化为数分的数项级数的收敛性 考察级数 则我们断定原级数发散

一定理42复级数(41)收敛的充要条件为:VE>0,彐自然数N 当n>N且p为任意自然数时, C n+1 C n+2 t a P 特别,取P=1,则必有:Cm<E 注显然,收敛数列的各项必是有界的。 若级数(4.1)中略去有限项,增加有限项,改变有限项,并不 改变级数的收敛性 定义42若级数∑a收敛,则称原级数∑an绝对收敛; 非绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛 定理43绝对收敛的级数其本身必定收敛。即若∑an收敛, 则∑必收敛(复级数收敛的一个充分条件为其绝对收敛) n=1 2021-2-22 复变函数

2021-2-22 复变函数 8 定理4.2  >0, 自然数N, 当n>N且p为任意自然数时，  n   n   n  p     1 2 <  特别，取P=1,则必有： n1 <  显然，收敛数列的各项必是有界的。 若级数（4.1）中略去有限项，增加有限项，改变有限项，并不 改变级数的收敛性 定义4.2   n 1 an 收敛，   n 1 an 绝对收敛； 非绝对收敛的收敛级数，称为 定理4.3   n 1 an 收敛， 则  n 1 an 必收敛 （复级数收敛的一个充分条件为其绝对收敛） 复级数（4.1）收敛的充要条件为： 若级数 则称原级数 绝对收敛的级数其本身必定收敛。即若 条件收敛 注

注(1)级数∑al的各项既为非负实数,故它是否收敛, 可依正项级数的理论判定之 (2)实级数可看作特殊的复级数,因此可很容易地举出 条件收敛的例子 例∑(1 由莱布尼兹判别法,可知此级数是条件收敛的级数 说明)关于绝对收敛的复级数,和实级数一样,有相似的性质, 现叙述如下,而不加证明 定理44(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排 次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和; (2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出 乘积级数 2021-2-22 复变函数 ■9

2021-2-22 复变函数 9 级数  n 1 an 实级数可看作特殊的复级数，因此可很容易地举出 条件收敛的例子   n 1   n n 1 1 由莱布尼兹判别法，可知此级数是条件收敛的级数 关于绝对收敛的复级数，和实级数一样，有相似的性质， 现叙述如下，而不加证明 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排 例 可依正项级数的理论判定之 注 (1) 的各项既为非负实数，故它是否收敛， (2) 说明 定理4.4 两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出 次序， （1） （2） 乘积级数 而不改变其绝对收敛性，亦不改变其和；

A=01+c2+…+n+… B=B1+B2+…+Bn+ B B, a,B a B2 C B a,B a, B 2 as a, B a, B, a3 B 2021-2-22 复变函数 ■■10

2021-2-22 复变函数 10 1 2 3 2 3  1   1 1  2  1 1  3 2 2 2  1 3  1 3 3  2  2  3  3         1   2     n   B  1   2     n   A  