《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 积分理论（5.1）Lesbesgue积分的定义及性质

实变函数 第五章积分理论 第一节 Lesbesgue积分的定义及性质

第一节 Lesbesgue积分的定义及性质 第五章 积分理论

1.积分的定义 (1)非负简单函数的积分 设风2x(是E=E(E可测且两两不交) 上非负简单函数,定(D)呗(xM=EcmE 为9(x)在E上的 Lebesgue积分 例:对 Dirichlet函数 D(r) x[0,1Q (0x∈[0,1]-Q ADJ O)(x)=1.0+01=0

1.积分的定义 i n i i E L  x dx c mE = = 1 ( ) ( ) (x) i n i E E =1 ( ) ( ) =  1 x c x Ei n i   i  = 设 = 是 ( Ei可测且两两不交） 上非负简单函数，定义 为 在E上的Lebesgue积分 ( ) ( ) =10+01= 0  L D x dx E 有  x Q x Q D x   =  − 1 [0,1] 0 [0,1] ( ) 例：对Dirichlet函数 0 1 ⑴非负简单函数的积分

(2)非负可测函数的积分 设x)为E上非负可测函数,定义 ()/(xk=9甲(J0(xkx(x)为E上的简单函数 0≤(x)≤f(x)} 为fx)在E上的 Lebesgue积分 若x)是E上的可测函数则x)总可表示成一列 简单函数{(x的极限f(x)=in(x),而且还 n→0 可办到(x)图(x

⑵非负可测函数的积分 ( ) ( ) sup{( ) ( ) : ( ) 0 ( ) ( )} E E L f x dx L x dx x E x f x    =     为 上的简单函数 ， 为f(x)在E上的Lebesgue积分 设f(x)为E上非负可测函数，定义 |1 (x)||2 (x)| f (x) lim (x) n n  → {n (x)} = 若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列 简单函数 的极限 ，而且还 可办到

(3)一般可测函数的积分 设fx)为E上的可测函数,定义 D(x=(D(O/( 要求/(MD/(不同时为十) 为x)在E上的 Lebesgue积分(有积分) 注:当()(有限时,称x)在E上L可 积分的几何意义:(D)f(xx=mG(E, G(E;∫)={(x,y):x∈E,0≤y<f(x)}

⑶一般可测函数的积分 积分的几何意义： (L) f (x)dx mG(E; f ) E =  G(E; f ) ={( x, y): x E,0  y  f (x)} L f x dx E 注：当 ( ) ( ) 有限时，称f(x)在E上 L可积 （要求 (L) E f + (x)dx, (L) E f − (x)dx 不同时为 + ） 为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分） L f x dx L f x dx L f x dx E E E + − ( ) ( ) = ( ) ( ) −( ) ( ) 设f(x)为E上的可测函数，定义

2积分的性质 (1)零集上的任何函数的积分为0 (2)f(x)可积当且仅当(x)可积((x)是可测函数) 且f(x)zxf(x)kx f(x)=f+(x)-f(x) E 1f(x)|=f+(x)+f(x) )调性若(8)则/8( (4)线形((x)+g(x)=(x+g(xx a f(x)x=a.f(x)a

⒉积分的性质 ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x + − + − = − = + ⑴零集上的任何函数的积分为0 | ( ) | | ( ) | E E f x dx f x dx    ⑵ f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）, 且 f x g x f x dx g x dx E E ⑶单调性 若 ( )  ( )，则 ( )  ( ) : f x dx f x dx f x g x dx f x dx g x dx E E E E E      = + = + ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )   ⑷线形:

(5)设f(x)是E上的可测函数,/(x)=0, 证明f(x)=0ae于E 证明:令E,=E 用到了积分的可加性 f|≥L 则E1为可测集且Em=E 从0=f(x)x=1f(x)+1f(x)2|f(x)x≥mEn E E E-E 可得mEn=0,从而mEun=o1 If>Ol ≤∑nE.=0 n=1 即f(x)=0ae.于E

(5)设f(x)是E上的可测函数， ， 证明 a.e.于E | ( ) | = 0  f x dx E f (x) = 0 0 0 1 = [| | 0] = [| | 0]   =  =   n n 可得mEn ，从而mE f mE f mE n n E E E E E f x dx f x dx f x dx f x dx m E n n n 1 0 = | ( )| = | ( )| + | ( )|  | ( )|  从    −  [| | ] 1 n 令En = E f  n n E f E  =  =  1 且 [| | 0] 证明： 则En为可测集, 即f(x)=0 a.e.于E。 ( [ 0 1/n 用到了积分的可加性

(6)若何可积,则f几乎处处有限 证明:令E=EDC 则E323且M+=mEn= lim En 1→0 对每个n,有四mE三(到/(x+ 所以lmmE=0 从而mEmn==m(⌒En)=m( lim e)= lim mE=0 1→0O 1→0

(6) 若f可积，则f几乎处处有限. 证明： 令E E n f n = [| | ]  lim 0 n n mE → 所以 = nm E   f x dx   f x dx  + E E n n 对每个 | ( )| | ( )| n，有 ( ) (lim ) lim 0 1 [ | | ] =  = = = → →  = =+ n n n n n n 从而mE f m E m E mE [| | ] 1 , lim f n n n n E E E  =+ = → 则则EE E E 1 1 2 3    =  = E2  E3  且

(7)积分的绝对连续性 若(x)在E上可积,则E>0.36>0 及任何可测子集ecE,当me<6时, 有/(x(x)≤E 即:当积分区域很小时,积分值也很小 说明:若fx)M则只要取δ=8M即可,所以我们要 把fx)转化为有界函数

(7)积分的绝对连续性 说明：若|f(x)|<M,则只要取δ=ε/M即可，所以我们要 把f(x)转化为有界函数。   0,  0, e  E,当me  时,      f x dx f x dx e e | ( ) | | ( )| 若f(x)在E上可积，则 及任何可测子集 有 即：当积分区域很小时，积分值也很小

积分的绝对连续性的证明 证明:由于x可积,故成x)也可积 f(x)|dt=sup{,o(x女:9x)E上简单函数 故对任意,存在E上的简单函数o(x), 且0≤x)sf(x) 使在E上0c(x)f(x)|且 「0xhk≤(x)≤.(x+故有(0(x)-(x)k≤ 由于q(x)为简单函数,故存在M,使得|o(x)M 令δ=,则当ecE,且me<冽时, ffax=(f|-y)女+ax<号+M2=E

积分的绝对连续性的证明          = − +  + = =       M e e e e M f dx f dx f dx dx M e E me 2 2 2 | | | | (| | ) 令 ，则当 ，且 时，且0 (x) | f (x)|} f x dx x dx x 为E上简单函数， E E | ( )| sup{ ( ) :( )   = 证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积 故对任意ε，存在E上的简单函数φ(x) ， 2 2 ( ) | ( ) | ( ) , (| ( ) | ( )) E E E E x dx f x dx x dx f x x dx        + −      故有 使在E上 0 (x) | f (x)|,且 由于φ(x)为简单函数，故存在M，使得|φ(x)|<M

Lesbesgue积分 Riemann积分 yi Xi-1 xi 分割值域 分割定义 (L)n1(x)k=妈吗与mE(()=m∑/(

i n i i a b L  f x dx  mE = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim   yi yi-1 分割值域 Lesbesgue积分 xi-1 xi i n i i T b a R f x dx =  f x  = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) 分割定义域 Riemann积分