实变函数 第三章测度理论 习题讲解
习题讲解 第三章 测度理论
1设E是直线上的一有界集,mE>0,则对任意小 于mE的正数c,恒有子集E1,使mE1=c 证明:由于E有界,故不妨令Ec[ab 令x)=m*E∩[a,x]),则fa)=0,b)=m*E 下证fx)在[a,b]上连续
1 设E是直线上的一有界集， ，则对任意小 于 的正数c，恒有子集E1，使 0 m E m E m E = c 1 证明：由于E有界，故不妨令 E a b [ , ] 令f(x)=m*(E∩[a,x])，则f(a)=0,f(b)=m*E, 下证f(x)在[a,b]上连续 [ a x1 x2 b ]
f(x)=m*(E∩a,x]) 任取x1x2∈[a,b],x1x2,则 f(x2)-f(x)=m(E∩a,x2)-m(E∩an,x) km(E∩anx])+m(E⌒[x1x-m(E∩[a,x) m(E∩[x1,x2])≤m([x1,x2])=x2-x1 从而x)在[a,b]上(一致)连续; 由界值定理知,存在ξ∈[a,b],使(ξ)=c 令E1E∩a,],则E1满足要求
1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ( [ , ]) ([ , ]) ( [ , ]) ( [ , ]) ( [ , ]) ( ) ( ) ( [ , ]) ( [ , ]) m E x x m x x x x m E a x m E x x m E a x f x f x m E a x m E a x = = − + − − = − 从而f(x)在[a,b]上（一致）连续； 由界值定理知，存在ξ ∈[a,b] ,使f(ξ)=c, 令E1=E ∩[a, ξ]，则E1满足要求. 任取x1 ,x2 ∈ [a,b], x1<x2，则 [ a x1 x2 b ] f(x)=m*(E∩[a,x])
2设A,B是R的子集,A可测,证明等式 m(A∪B)+m(A∩B)=m(4)+m(B) 证明: 由于A可测, 故YTcR,有mT=m(T∩A)+m(r∩A) 取T=A∪B,有m(AUB)=m(4)+m(B∩A°) 取T=B,有m(B)=m(B∩A)+m(B∩A) 注意:不要说直接两式相减 两式一结合即得 因为m*B可能为无穷 m(A∪B)+m(4∩B)=m(4)+m(B)
2 设A，B是Rn的子集，A可测，证明等式 m (A B) m (A B) m (A) m (B) + = + m (A B) m (A B) m (A) m (B) + = + 两式一结合即得 ( ) ( ) ( ) ( ) c c T A B m A B m A m B A T B m B m B A m B A = = + = = + 取 ，有 （ ） 取 ，有 （ ） ( ) ( ) n c A T R m T m T A m T A = + 由于 可测， 故 ，有 证明： 注意:不要说直接两式相减, 因为m*B可能为无穷
3设A,B是R的子集,证明不等式 m(A∪B)+m(A∩B)≤m(A)+m(B) 证明:作G型集O,使AcO且mO=m4 由于O可测,故 m(A∪B) m((4∪B)O)+m(A∪B)aO) m((A∪B)O)+m(BO) 注意:不要说直接 m(B)=m(B∩O)+m(B0O) 两式相减,因为 两式一结合即得 m*B可能为无穷 m(A∪B)+m(A⌒B)≤m(AB)+m(B∩O) m((A∪B)∩O)+m(BO°)+m(B0O) m((A∪B)O)+mB≤mO+mB=mA+mB
3 设A，B是Rn的子集，证明不等式 m (A B) m (A B) m (A) m (B) + + 两式一结合即得 （ ） ( ) ( ) c m B = m B O + m B O m A B O m B m O m B m A m B m A B O m B O m B O m A B m A B m A B m B O c = + + = + = + + + + (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) （ ） ( ) （ ） ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) (( ) ) c c m A B O m B O m A B O m A B O m A B O = + = + （ ） 由于 可测，故 G O A O m O m A 证明： 作 型集 ，使 且 = 注意:不要说直接 两式相减,因为 m*B可能为无穷
4 设EcR,存在可测集列An},{Bn},使得 A,CECB 且m(B-4)→00→∞),试证明E可测 证明:令O=AB,则EcO,O为可测集, n=1 且m(O-E)≤m(Bn-E)→>0(n→∞ 从而m(O-E)=0 说明:也可通过 故O-E为可测集, 令令H=(A E=HU(E-H) 进一步E=O-(0-E为可测集。来证明
* * ( ) ( ) 0( ) 且m O E m B E n − − → → n 证明：令O Bn ，则E O，O为可测集， n = =1 故O − E为可测集， * 从而m O E ( ) 0 − = 说明：也可通过 来证明 1 n n H A = 令 = E = H (E − H) n E R An E Bn m(Bn − An ) → 0(n → ) 设 ，存在可测集列{An},{Bn}，使得 且 ，试证明E可测. 进一步 E = O − (O − E) 为可测集。 4
5直线上可测集全体A的势为2N 证明:令 Cantor集为P,由于 Cantor的测度为0 从而它的子集都可测,故。P 2CAC2 又P,R的势都为N 从而|2=2≤A≤2k=2N 再由 Bernstein定理知A=2N
5 直线上可测集全体A的势为 2 再由 A = 2 Bernstein定理知 2 2 2 2 P R A 从而 = = 又P，R的势都为 2 2 P R A 证明：令Cantor集为P， 由于Cantor的测度为0， 从而它的子集都可测，故