§1.10多元多项式
§1.10 多元多项式
前面介绍了一元多项式的基本性质,但是除了 元多项式外;还有含多个文字的多项式,即多元 多项式,如x2-y2+2x,x3+y3+3x3y+3xy2, 下面简单介绍有关多元多项式的一些概念 设F是一个数域,xx2…,x是n个文字, 形如ax4x2…x (1)的式子, 其中a∈F,k,k2,…k是非负整数,称为一个单项式 如果两个单项式中相同文字的幂全一样,那么 它们就称为同类项。一些单项式的和 ∑ak k 1 k2 nX X k1,k2,…kn 第一章多项式
第一章 多项式 前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了 一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元 多项式，如 2 2 x y xy − + 2 , 3 3 2 2 x y x y xy + + + 3 3 , 下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。 设F是一个数域， 1 2 , , , n x x x 是n个文字， 形如 1 2 1 2 n k k k n ax x x —（1）的式子， 其中 1 2 , , , , n a F k k k 是非负整数，称为一个单项式。 如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么 它们就称为同类项。一些单项式的和 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , n n n k k k k k k n k k k a x x x
就称为n元多项式,简称多项式, 记为∫(x1x2…,x)一(2) 和一元多项式一样,n元多项式也可以定义相 等,相加、相减、相乘。 1.相等:如果F上两个n元多项式有完全相同的项 (或者只差一些系数为零的项),则称 这两个多项式是相等的 2.相加:F上两个n元多项式f(x1,x2…,x)与 g(x1,x2…,xn)的和指的是把分别出现 在这两个多项式中对应的同类项的系数相 加多得的n元多项式 第一章多项式
第一章 多项式 就称为n元多项式，简称多项式， 记为 f x x x ( 1 2 , , , n ) —（2） 和一元多项式一样，n元多项式也可以定义相 等，相加、相减、相乘。 1. 相等：如果F上两个n元多项式有完全相同的项 （或者只差一些系数为零的项），则称 这两个多项式是相等的。 2. 相加：F上两个n元多项式 f x x x ( 1 2 , , , n ) 与 g x x x ( 1 2 , , , n ) 的和指的是把分别出现 在这两个多项式中对应的同类项的系数相 加多得的n元多项式
例如:设f(x1,x2,x)=x+3x2-2xx2+x2x2+x 2 g 2x,x2+3,x2-3x 2 则f与g的和 f(x1x2x)+8(x1,x2,x)=x+5x2+x2-2x2x2-x3 3相减:f-g=f+(-g) 设g∈F[x,x…x 把g的系数都换成各自的相反数,所得多项式 叫做g的负多项式,记为-g, g∈ 2 n 第一章多项式
第一章 多项式 例如：设 ( ) 3 2 2 3 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 2 3 3 f x x x x x x x x x x x , , 3 2 = + − + + ( ) 2 2 3 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 3 3 g x x x x x x x x x x , , 2 3 3 2 = + − − 则f与g的和是 ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 2 3 3 f x x x g x x x x x x x x x x x , , , , 5 2 + = + + − − 3. 相减： f g f g − = + −( ). 设 g F x x x 1 2 , , , , n − g F x x x 1 2 , , , . n 把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式 叫做g的负多项式，记为 −g
4.相乘:F上两个n元多项式∫(x,x2,…,x)与 g xn)的乘积指的是,先把f每一项 与g的每一项相乘,然后把这些乘积相加 (合并同类项)所得的多项式称为f与g的 积,记为fg。 例如f(x,x2,x)=2x2x2x+xx2-x2x g(x1,x22x3)=xx2+3xx2-Xx2x3 f g=2x'x2x4+6xix5xx-2x1xx3+xx2+3x'x2x -x,,x xxax-3xxxatxax 第一章多项式
第一章 多项式 4. 相乘：F上两个n元多项式 f x x x ( 1 2 , , , n ) 与 g x x x ( 1 2 , , , n ) 与g的每一项相乘，然后把这些乘积相加 （合并同类项）所得的多项式称为f与g的 积，记为fg。 的乘积指的是，先把f的每一项 例如 ( ) 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 f x x x x x x x x x x , , 2 = + − ( ) 3 2 3 2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 g x x x x x x x x x , , 3 = + − 则 5 2 2 4 2 2 2 4 2 4 3 3 2 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 2 6 2 3 3 f g x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + − + + − − − +
这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里 多项式的运算一致,n元多项式的运算满足以下运 算律:设f,g,h∈F[x,x2…x] 则(1)(f+g)+h=f+(g+h)(加法结合律) (2)f+g=g+f (加法交换律) (3)(/)h=f(gh)(乘法结合律) (4)g=gf (乘法交换律) (5)(+g)h=角+gh(乘法分配律) 我们把F上一切n个文字x2x2,…,x2的多项式所成 的集合,连同以上定义的加法和乘法叫做F上n个文字 第一章多项式
第一章 多项式 这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里 多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运 算律：设 f g h F x x x , , , , , , 1 2 n 则 ⑴ ( f g h f g h + + = + + ) ( ) （加法结合律） ⑵ f g g f + = + （加法交换律） ⑶ ( fg h f gh ) = ( ) （乘法结合律） ⑷ fg gf = （乘法交换律） ⑸ ( f g h fh gh + = + ) （乘法分配律） 我们把F上一切n个文字 1 2 , , , n x x x 的集合，连同以上定义的加法和乘法叫做F上n个文字 的多项式所成
xn的多项式环,记作F[x,x2…x 同一元多项式一样,也可以谈论n元多项式的次数。 设∫(x1,x2…x)=∑ k1…kn ki,., k k+k2+…+k称为单项式ax…x的次数, 对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就 称为这个多项式f的次数,记为O( 设f、g是F上两个不等于零的n元多项式,则 g的和与积的次数与f、9的次数有如下关系: 1、O(+g)≤max(O,cg), 2、a(·g)=f+g 第一章多项式
第一章 多项式 1 2 , , , n x x x 的多项式环，记作 F x x x 1 2 , , , . n 同一元多项式一样，也可以谈论n元多项式的次数。 设 ( ) 1 1 1 1 2 1 , , , , , , n n n k k n k k n k k f x x x a x x = 1 2 n k k k + + + 称为单项式 1 1 1 n n k k k k n a x x 的次数， 对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就 称为这个多项式f的次数，记为 ( f ). 设f、g是F上两个不等于零的n元多项式，则f与 g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系： 1、 + ( f g f g ) max , , ( ) 2、 = + ( f g f g )
结论1是显然的,但要证明结论2,还得先考虑 多元多项式的排列顺序,在一元多项式中,我们看 到多项式的升幂(或降幂)排列对许多问题的讨论 是方便的。为此,对多元多项式也引入一种排列顺 序的方法,这种方法是模仿字典排列的原则得出的, 因而称为字典排列法。 每一类单项式(1)都对应一个n元数组(k,k2…k) 其中k为非负整数,这个对应是1-1的, 为了给单项式之间一个排列顺序的方法,我们 只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。 设两个单项式分别对应n元数组(k1…)和(1…,) 第一章多项式
第一章 多项式 结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑 多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看 到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论 是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺 序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的， 因而称为字典排列法。 每一类单项式（1）都对应一个n元数组 (k k k 1 2 , , , n ) 为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们 只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。 其中 i k 为非负整数，这个对应是1-1的， 设两个单项式分别对应n元数组 (k k 1 , , n ) 和 (l l 1 , , n )
考虑k-l,i=1,2,…,n,如果有j≤n,使 0.而k-7>0 则称n元数组(k1…k)先于数组(4…) 记为(k,…k)>(42…) 于是对应于(k2…k)的单项式就排在对应于 (42…)的单项式前面 例如,对多项式∫=3x2x2x3-x2x2x2+x4+x3x-2 按字典排列法写出来就是: C(Is.,)=x1+3x1x2x3-xx2x4+x3x4-2 第一章多项式
第一章 多项式 考虑 , 1, 2, , . i i k l i n − = 如果有 j n , 使 1 1 1 1 0, , 0. j j k l k l − = − = − − 而 0 j j k l − 则称n元数组 (k k 1 , , n ) 先于数组 (l l 1 , , n ) 记为 (k k l l 1 1 , , , , n n ) ( ) 于是对应于 (k k 1 , , n ) 的单项式就排在对应于 (l l 1 , , n ) 的单项式前面。 例如，对多项式 2 3 2 3 2 4 2 1 2 3 1 2 4 1 3 4 f x x x x x x x x x = − + + − 3 2 按字典排列法写出来就是： ( ) 4 2 3 2 3 2 2 1 4 1 1 2 3 1 2 4 3 4 f x x x x x x x x x x x , , 3 2 = + − + −
应该注意的是, 把一个多项式按字典排列法书写后,次数较 高的项并不一定排在次数较低的项的前面,例如 上面的首项次数为4,第二项的次数为6,而af=7 关于多项式的首项有以下定理,这个定理在下 节讨论对称多项式时将要用到 定理1.10.1: 数城F上两个非零的n元多项式f(x2…,x,)和 g(x,…,x,)的乘积的首项等于这两个多项式首项 的乘积。 第一章多项式
第一章 多项式 应该注意的是， 把一个多项式按字典排列法书写后，次数较 高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如 上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而 = f 7. 关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下 一节讨论对称多项式时将要用到 定理1.10.1： 数域F上两个非零的n元多项式 f x x ( 1 , , n ) 和 g x x ( 1 , , n ) 的乘积的首项等于这两个多项式首项 的乘积