§1.8有理系数多项式
§1.8 有理系数多项式
本节讨论有理数域上多项式的可约性,以及如 何求Q上多项式的有理根,由于f(x)与(x)在 Q[x]上的可约性相同。因此讨论f(x)在Q上的可约 性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 整系数多项式的可约性 定义1(本原多项式): 若整系数多项式f(x)的系数互素,则称f(x) 是一个本原多项式。 例如:f(x)=3x2+6x-4,g(x)=5x2+ 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式,但相乘之后必是本原多项式 第一章多项式
第一章 多项式 本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如 何求Q上多项式的有理根，由于 f x( ) 与 cf x( ) 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x( ) 在Q上的可约 性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x( ) 的系数互素，则称 f x( ) 是一个本原多项式。 例如： ( ) ( ) 2 2 f x x x g x x = + − = + 3 6 4, 5 1 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式，但相乘之后必是本原多项式。 是本原多项式
引理(高斯定理): 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 证:设f(x)=a+ax+…+ax+…+a1x,an2≠0 g(x)=b+bx+…+bx+…+bnx bm≠0 都是本原多项式 f(g(x) m+n C+C1x+∴+C:x+…+Cx m+n 若f(x)g(x)不是本原多项式,则存在素数p,使 plk,k=12…,m+n,由于f(x,(x)都是本原多 项式,故f(x)的系数不能都被p整除,8(x)的系数 也不能被p整除, 第一章多项式
第一章 多项式 引理（高斯定理）： 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 证：设 ( ) 0 1 , 0 i n i n n f x a a x a x a x a = + + + + + ( ) 0 1 , 0 j m j m m g x b b x b x b x b = + + + + + 都是本原多项式 ( ) ( ) 0 1 . i j m n i j m n f x g x c c x c x c x + + = + + + + + + + 若 f x g x ( ) ( ) 不是本原多项式，则存在素数p，使 , 1, 2, , , k p c k m n = + 由于 f x g x ( ), ( ) 都是本原多 项式，故 f x( ) 的系数不能都被p整除， g x( ) 的系数 也不能被p整除
可设pa,r=01…1-1,但P|a, 6. s=0.1 1,但Pb 现考虑 b++…+a-1b++ab+a:b1+…+a+1b 除了ab这一项外,p能整除其余各项, 因此P+c+,这是一个矛盾, 故f(x)g(x)是本原多项式 定理191:一个整系数n(n>0)次多项式f(x) 在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约 第一章多项式
第一章 多项式 可设 , 0,1, , 1, r p a r i = − 但 , i p a , 0,1, , 1, s p b s j = − 但 , j p b 现考虑 0 1 1 1 1 0. i j i j i j i j i j i j c a b a b a b a b a b + + − + + − + = + + + + + + 除了 i j a b 这一项外，p能整除其余各项， , i j p c 因此 + 这是一个矛盾， 故 f x g x ( ) ( ) 是本原多项式。 定理1.9.1：一个整系数n（n>0）次多项式 f x( ) 在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约
证:充分性显然 下证必要性。 设f(x)可分解成Q[x中两个次数都小于n的 设8(x)的系数的公分母为m,则mg()) 多项式g(x)与h(x)的乘积,即有f(x)=g(x)h( 个整系数多项式,把mg(x)系数的公因式n 提出来,mg(x)=mg1(x),g1(x)是本原多项式, 即g(x)=g1(x)=r·81(x) 同理,存在有理数S,使h(x)=sh(x) h(x)也是本原多项式 第一章多项式
第一章 多项式 证：充分性显然。 下证必要性。 设 f x( ) 可分解成 Q x 中两个次数都小于n的 多项式 g x( ) 与 h x( ) 的乘积，即有 f x g x h x ( ) = ( ) ( ). 设 g x( ) 的系数的公分母为m，则 mg x( ) 一个整系数多项式，把 是 mg x( ) 系数的公因式n 提出来， mg x ng x ( ) = 1 ( ), g x 1 ( ) 是本原多项式， 即 ( ) 1 1 ( ) ( ). n g x g x r g x m = = 同理，存在有理数S，使 h x sh x ( ) = 1 ( ), h x 1 ( ) 也是本原多项式
于是f(x)=g(x)h(x)=r·s(x)k1(x) 下证r·s是一个整数, 设 (p,q互素且p>0) 由于8(x)h(x)是整系数多项式, 故p能整除q与81(x)h(x)的每一系数的乘积, 而p,q互素,故p能整除g1(x)h(x)的每一系数, 但由引理1知,g1(x)h(x)是本原多项式, 故p=1,从而rs是一个整数。 第一章多项式
第一章 多项式 于是 f x g x h x r sg x h x ( ) = = ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 下证 r s 是一个整数， q r s p 设 = （p,q互素且p>0）， 由于 1 1 ( ) ( ) q g x h x p 是整系数多项式， 故p能整除q与 g x h x 1 1 ( ) ( ) 的每一系数的乘积， 而p,q互素，故p能整除 g x h x 1 1 ( ) ( ) 的每一系数， 但由引理1知， g x h x 1 1 ( ) ( ) 是本原多项式， 故p=1，从而rs是一个整数
问题: C上不可约多项式只能是一次,R上不可约多项 式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式,Q上 不可约多项式的特征是什么?下面的 Eisenstein的判 别法回答了这个问题 定理192( Eisenstein判别法): 设f(x)=a+a1x+…+anx是整系数多项式 若存在素数p,使①p卜an ):415 2 则f(x)在Q上不可约 第一章多项式
第一章 多项式 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项 式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上 不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判 别法回答了这个问题。 问题： 定理1.9.2（Eisenstein判别法）： 设 ( ) 0 1 n n f x a a x a x = + + + 是整系数多项式， 若存在素数p，使 ② 0 1 1 , , , , n p a a a − ① ; n p a ③ 2 0 p a , 则 f x( ) 在Q上不可约
证(反证法): 若f(x)在Q上可约→f(x)在Z上可约, 即存在: g(x)=b+bx+…+b h(x)=c+cx+…+cx∈z[x」 使f(x)=g(x)h(x) 其中k+l=n,0<k,l<n a=b-o,pa0故Ph或P0 但两者不能同时成立。(p2a) 第一章多项式
第一章 多项式 证（反证法）： 若 f x( ) 在Q上可约 f x( ) 在Z上可约， 即存在： ( ) 0 1 , k k g x b b x b x = + + + ( ) 0 1 , l l h x c c x c x Z x = + + + 使 f x g x h x ( ) = ( ) ( ). 其中 k l n k l n + = , 0 , . 0 0 0 0 a b c p a = , 故 0 p b 或 0 p c 但两者不能同时成立。 ( ) 2 0 p a
不妨设pb但p+c 由于an=b,由p+an知g(x)的系数不能都被p 整除,假设b是第一个不能被p整除的系数, 甲Pb∴Pb。1,但p 现考虑 a=bc+bC1+…+bnC,S<n P+b,p|c→p+bc 但p能整除其它项,故Pa。与已知矛盾。 f(x)在2[x]中不可约 →f(x)在Q[x]中不可约 第一章多项式
第一章 多项式 不妨设 0 p b 但 p c0 。 由于 a b c n k l = ，由 n p a 知 g x( ) 的系数不能都被p 即 0 1 , , , s p b p b − 但 s p b 现考虑 0 1 1 0 , . s s s s a b c b c b c s n = + + + − 0 0 , , s s p b p c p b c 但p能整除其它项，故 s p a 与已知矛盾。 假设 s 整除， b 是第一个不能被p整除的系数， f x( ) 在 Z x 中不可约 f x( ) 在 Q x 中不可约
由 Eisenstein判别法知,Q上存在任意次不可约 多项式 例19.1:x+P是Q上不可约多项式,p是素数 解:取素数p即知。 例192:判断f(x)=x-10x2+2 g(x)=5x2-6x3+12x+6 在Q上是否可约? 解:分别取p=2,p=3即知。 第一章多项式
第一章 多项式 由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约 多项式。 例1.9.1： n x p + 是Q上不可约多项式，p是素数。 例1.9.2：判断 ( ) 6 3 f x x x = − + 10 2, ( ) 4 3 g x x x x = − + + 5 6 12 6 在Q上是否可约？ 解：分别取p=2, p=3即知。 解：取素数p即知