湖南商学院：《概率论》课程教学资源（PPT课件）第三章 随机向量及分布（3.1）二维随机向量及其分布函数

第三章随机向量及分布 湖南商学院信息系 数学敏研空

第三章 随机向量及分布 湖南商学院信息系 数学教研室

本章内容是第二章内容的推广 维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难,我们重点讨论二维随机变量

一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 本章内容是第二章内容的推广

现在为止,我们只讨论了一维及 分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述 还不够,而需要用几个随机变量来描述 在打靶时,命中点的位置是由 对κv(两个坐标)来确定的 飞机的重心在空中的位置是由三个rv( 个坐标)来确定的等等

到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其 分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述 还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由 一对r.v(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三 个坐标）来确定的等等

第三章第一节 二维随机向量及其分布函数 设随机试验E的样本空间是g X=X(o)和Y=Y(o)是定义在9上的随机变 量,由它们构成的向量(x,Y),称为二维随机向 量 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及 Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系, 因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究 为此,首先需要引入二维随机向量(X,Y) 的分布函数的概念

第三章 第一节 二维随机向量及其分布函数 设随机试验E的样本空间是Ω. X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量. 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及 Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系, 因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究. 为此,首先需要引入二维随机向量(X,Y) 的分布函数的概念

二维随机变量(X,Y) 维随机变量X X和Y的联合分布函数 X的分布函数 F(x,y)=PXxY≤y)F(x)=P(X≤x) 00<x2y<∞ 0<<0

二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数 F(x, y) = P(X x,Y  y) −   x, y   F(x) = P(X x) −  x   X的分布函数 一维随机变量X

如果把(X,Y)看 成平面上随机点的 坐标 取定x,y∈Rl, (xo3) F(x,y)就是点 (X,Y)落在平面上的 以(x,y)为顶点而位 于该点左下方的无 限矩形区域内的概 见右图

如果把(X,Y)看 成平面上随机点的 坐标. 取定x,y R 1 ， F(x,y)就是点 (X,Y)落在平面上的 以(x,y)为顶点而位 于该点左下方的无 限矩形区域内的概 率. 见右图

说明 由上面的几何解释,易见 随机点(X,Y)落在矩形区域 x1<x≤x2,y1(ysy2 内的概率 P{x1<X≤x2,y1Y≤y2 F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1

由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域: x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率 P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1) 说明

二维分布函数F(x,y)的三条基本性质 1.F(x,y)是变量x,y的非减函数 即∨y∈R取定,当x1<x2时, F(x1,y)≤F(x2,y) 同样,Vx∈R取定,当y1≤y2时, F(x,y1)≤F(x,y2) 2.Vx,y∈R1有0≤F(x,y)≤1

二维分布函数F(x,y)的三条基本性质 1. F(x,y)是变量x,y的非减函数. 即 yR 1取定,当x1<x2时, F(x1,y)≤F(x2,y). 同样, xR 1取定,当y1≤y2时, F(x,y1)≤F(x,y2). 2.  x,y R 1 有 0≤F(x,y)≤1

F(-∞,y)=0, Vx∈R1,F(x,-∞)=0, F(-∞,-∞)=0,F(∞,∞)=1 其中F(-∞,y):=imF(x,y), F(x,-∞):=limF(x,y) 1→>-∞ F( ):= lim F(x, y) F(∞2∞):=limF(x,y) x→∞

3. yR 1, F(-∞,y)=0， xR 1, F(x,-∞)=0， F(-∞,-∞)=0， F(∞,∞)=1 ( , ): lim ( , ) ( , ): lim ( , ) , ( , ): lim ( , ), ( , ): lim ( , ) , F F x y F F x y F x F x y F y F x y x x y x y x → → →− →− →− →−   = − − = − = − = 其中:

这一讲我们介绍了二维随机向量的概 念,二维随机向量的分布函数及其性质 二维随机向量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们

这一讲我们介绍了二维随机向量的概 念,二维随机向量的分布函数及其性质. 二维随机向量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们