§1.7多项式函数与多项式的根
§1.7 多项式函数与多项式的根
多项式函数 1.定义:设f(x)=a+ax+…+anx"∈F[x]对 vc∈F,数f(c)=a+ac+…+ac"∈F称为当 x=C时f(x)的值,若f(c)=0,则称c为f(x)在 F中的根或零点。 2.定义(多项式函数):设f(x)∈F[x],对 VC∈F,作映射f: c→>f(c)∈F 映射确定了数域F上的一个函数f(x),f(x)被称 为F上的多项式函数。 第一章多项式
第一章 多项式 一、多项式函数 ( ) 0 1 , n n 1. 定义：设 f x a a x a x F x = + + + 对 ( ) 0 1 n n c F, 数 f c a a c a c F = + + + 称为当 F中的根或零点。 2. 定义（多项式函数）：设 f x F x ( ) , 对 c F, 作映射f： c f c F → ( ) 为F上的多项式函数。 x c = 时 f x( ) 的值，若 f c( ) = 0, 则称c为 f x( ) 在 映射f确定了数域F上的一个函数 f x( ), f x( ) 被称
当F=R时,f(x)就是数学分析中所讨论的多项 式函数。 若u(x)=f(x)士g(x),v(x)=f(x)·g(x) Ju(c=f(c+g(c), v(c)=f(c) g(c) 余式定理和综合除法 定理171(余式定理):用一次多项式XC去 除多项式f(x)所得的余式是f() 证:由带余除法:设f(x)=(x-c)q(x)+r 则r=f(c) 第一章多项式
第一章 多项式 当F=R时， f x( ) 就是数学分析中所讨论的多项 式函数。 若 u x f x g x v x f x g x ( ) = = ( ) ( ), , ( ) ( ) ( ) 则 u c f c g c v c f c g c ( ) = = ( ) ( ), . ( ) ( ) ( ) 二、余式定理和综合除法 所得的余式是 。 定理1.7.1（余式定理）：用一次多项式x-c去 除多项式 f x( ), f c( ) 证：由带余除法：设 f x x c q x r ( ) = − + ( ) ( ) , 则 r f c = ( )
问题1、有没有确定带余除法: f(x)=(x-c)q(x)+r 中q(x)和r的简单方法? 设f(x)=ax+axn1+…+an1x+ (x)=bx+bx+. +bm-2+bm-1 (x-c)q(x)+r=box"+(b-cbo)x/-+ +(bm--ch-2)x+r-cbn 把f(x,(x)代入f(x)=(x-c)9(x)+r 中展开后比较方程两边的系数得: 第一章多项式
第一章 多项式 问题1、有没有确定带余除法： f x x c q x r ( ) = − + ( ) ( ) 中 q x( ) 和 r 的简单方法？ 设 ( ) 1 0 1 1 n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − ( ) 1 2 0 1 2 1 n n n n q x b x b x b x b − − = + + + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 2 1. n n n n n x c q x r b x b cb x b cb x r cb − − + = + − + + − + − − − − 把 f x q x ( ), ( ) 代入 f x x c q x r ( ) = − + ( ) ( ) 中展开后比较方程两边的系数得： 0 0 a b = 0 0 b a =
6=a+cbo +cb b, -cb tcb 2 r-c n tc6 因此,利用f(x)与q(x)之间的系数关系可以方便 q(x)和r,这就是下面的综合除法: b cb cb.a cb 6. 6 第一章多项式
第一章 多项式 1 1 0 a b cb = − 1 1 0 b a cb = + 2 2 1 a b cb = − 2 2 1 b a cb = + n n n 1 1 2 a b cb − − − = − n n n 1 1 2 b a cb − − − = + n n 1 a r cb = − − n n 1 r a cb = + − 因此，利用 f x( ) 与 q x( ) 之间的系数关系可以方便 q x( ) 和r，这就是下面的综合除法： 0 1 2 1 n n a a a a a − c + 0 0 b a = 0 cb1 b 1 cb2 b n 2 cb − n 1 b − n 1 cb − r
于是得q(x)=bx”+bxn2+…+bn2x+b n-1 +cb 例1.71:求用x+2去除f(x)=x2+x2+2x2+8x-5 的商式和余式 解:由综合除法 10128 5 2 24 1016 25 824 53 因此q(x)=x4-2x2+5x2-8x+24 r=-53 第一章多项式
第一章 多项式 于是得 ( ) 1 2 0 1 2 1, n n n n q x b x b x b x b − − = + + + + − − 1 . n n r a cb = + − 例1.7.1：求用 x + 2 去除 ( ) 5 3 2 f x x x x x = + + + − 2 8 5 的商式和余式。 解：由综合除法 1 0 1 2 8 5 − −2 + 1 −2 −2 4 5 −10 −8 16 24 −48 −53 因此 ( ) 4 3 2 q x x x x x = − + − + 2 5 8 24 r = −53
利用综合除法求q(x)与时应注意: 多项式系数按降幂排列,有缺项必须补上零 2、除式x+b要变为x-(-b) 例1.7.2:把f(x)=x3+x3+2x2+8x-5表成x+2 的方幂和。 第一章多项式
第一章 多项式 利用综合除法求 q x( ) 与r时应注意： 1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零； 2、除式 x b + 要变为 x b − −( ) ( ) 5 3 2 例1.7.2：把 f x x x x x = + + + − 2 8 5 表成 x + 2 的方幂和
定理172(因式定理):多项式f(x)有一个 因式(x-c)的充要条件是f(c)=0。 证明:设∫(x)=(x-c)q(x)+r 若f(c)=0,即r=0 故(x-c)是f(x)的一个因式。 若f(x)有一个因式(x-c),即(x=c)f(x) 故r=0,此即f(c)=0。 由此定理可知,要判断一个数c是不是f(x)的根 可以直接代入多项式函数,看f(x)是否等于零;也可 以利用综合除法来判断其余数是否为零。 第一章多项式
第一章 多项式 定理1.7.2（因式定理）： 因式 ( x c − ) 的充要条件是 f c( ) = 0 。 证明：设 f x x c q x r ( ) = − + ( ) ( ) , 若 f c( ) = 0, 即 r = 0, 故 ( x c − ) 是 f x( ) 的一个因式。 若 f x( ) 有一个因式 ( x c − ), 即 ( x c f x − ) ( ), 故 r = 0, 此即 f c( ) = 0 。 由此定理可知，要判断一个数c是不是 f x( ) 的根， 可以直接代入多项式函数，看 f x( ) 是否等于零；也可 以利用综合除法来判断其余数是否为零。 多项式 f x( ) 有一个
多项式的根 定义3:若x-c是∫(x)的一个k重因式,即有 (x-c)/(x),但(x-c))f(x),则x=c是f(x) 的一个k重根。 问题2、若多项式f(x)有重根,能否推出∫(x) 有重因式,反之,若f(x)有重因式,能否说∫(x) 有重根? 由于多项式f(x)有无重因式与系数域无关,而 f(x)有无重根与系数域有关,故f(x)有重根 →f(x)有重因式,但反之不对 第一章多项式
第一章 多项式 三、多项式的根 定义3：若 x c − 是 f x( ) 的一个k重因式，即有 ( ) ( ), k x c f x − 但 ( ) ( ) 1 , k x c f x + − 则 x c = 是 f x( ) 的一个k重根。 问题2、 若多项式 f x( ) 有重根，能否推出 f x( ) 有重因式，反之，若 f x( ) 有重因式，能否说 f x( ) 有重根？ 由于多项式 f x( ) 有无重因式与系数域无关，而 f x( ) 有无重根与系数域有关，故 f x( ) 有重根 f x( ) 有重因式，但反之不对
定理173(根的个数定理):数域F上n(n≥0) 次多项式至多有n个根(重根按重数计算) 证明(用归纳法): 当n=0时结论显然成立, 假设当f(x)是n-1次多项式时结论成立, 则当f(x)是n次多项式时, 设c∈F是f(x)的一个根,则有f(x)=(x-c)q(x) q(x)是n-1次多项式,由归纳知q(x)至多只有 1个根,故f(x)至多只有n个根。 第一章多项式
第一章 多项式 定理1.7.3（根的个数定理）：数域F上 n n( 0) 次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。 证明（用归纳法）： 当 n = 0 时结论显然成立， 假设当 f x( ) 是 n−1 次多项式时结论成立， 则当 f x( ) 是n次多项式时， 设 c F 是 f x( ) 的一个根，则有 f x x c q x ( ) = − ( ) ( ) q x( ) 是n-1次多项式，由归纳知 q x( ) 至多只有 n−1 个根，故 f x( ) 至多只有n个根