§1.5多项式的分解
§1.5 多项式的分解
在中学代数里我们学过因式分解,就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中,有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了,但是当时没有理论根据,到底能不能再 分下去? 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。 对于F[对中任一个多项式f(x,c∈F及o(x) 总是f(x)的因式。这样的因式称为平凡因式 我们感兴趣的是,除了平凡因式外,f(x) 还有没有其他的因式? 第一章多项式
第一章 多项式 在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？ 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。 对于 F x 中任一个多项式 f x( ), c F cf x 及 ( ) 总是 f x( ) 的因式。这样的因式称为平凡因式。 我们感兴趣的是，除了平凡因式外， f x( ) 还有没有其他的因式？
、不可约多项式 1、定义 定义151设f(x)是F[x中次数大于零的多项式 如果在F[x]中,f(x)只有平凡因式,则称∫(x)在数域 F上不可约。若f(x)除平凡因式外,在F[x中还有 其他因式,则称f(x)在数域F上可约 等价定义:如果F[x]中一个n(7>0)次多项式 f(x)可分解成F[x中两个次数都小于n的多项式 g(x),b(x)的积,即f(x)=g(x)h(x),则称 f(x)在数域F上可约 第一章多项式
第一章 多项式 定义1.5.1 设 f x( ) 是 F x 中次数大于零的多项式， F上不可约。若 f x( ) 除平凡因式外，在 F x 中还有 等价定义： f x( ) 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式 g x h x ( ), ( ) 的积，即 f x g x h x ( ) = ( ) ( ), 则称 f x( ) 在数域F上可约。 如果 F x 中一个 n n( 0) 次多项式 如果在 F x 中， f x( ) 只有平凡因式，则称 f x( ) 在数域 其他因式，则称 f x( ) 在数域F上可约。 一、不可约多项式 1、定义
由定义可得: ①一次多项式是不可约多项式(二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象) 多项式的可约性与数域有关(例x2+2在C上 可约,在R中不可约) ③零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性 2.性质 性质1若p(x)不可约,则cp(x)也不可约, C≠0、c∈F 性质2若p(x)是不可约多项式,(x)∈F[x] 第一章多项式
第一章 多项式 由定义可得： ① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）； ② 多项式的可约性与数域有关（例 2 x + 2 在C上 可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。 2. 性质 性质1 p x( ) 不可约，则 cp x( ) 也不可约， c c F 0, . 若 性质2 若 p x( ) 是不可约多项式， f x F x ( )
则P(x)/(x)(p(x),/(x)=1 证:设(P(x),f(x)=a(x) 由d(x)/(x)→4(x)=1或d(x)=(x) 若d(x)=1,则(p(x),f(x)=1 若d(x)=cp(x),则P(x)(x) 性质3:若p(x)不可约且P(x)(x)g(x) 则P(x)f(x)或p(x)g(x) 证:若p(x)(x)则结论成立; 若p(x)f(x),又p(x)不可约 第一章多项式
第一章 多项式 则 p x f x ( ) ( ) ( p x f x ( ), 1. ( )) = 证：设 ( p x f x d x ( ), , ( )) = ( ) 由 d x f x d x ( ) ( ) = ( ) 1 或 d x cp x ( ) = ( ). 若 d x( ) =1, 则 ( p x f x ( ), 1. ( )) = 若 d x cp x ( ) = ( ), 则 p x f x ( ) ( ) 性质3：若 p x( ) 不可约且 p x f x g x ( ) ( ) ( ) 则 p x f x ( ) ( ) 或 p x g x ( ) ( ). 证： 若 p x f x ( ) ( ), 则结论成立； 若 p x f x ( ) ( ) ，又 p x( ) 不可约
由性质2,(P(x),f(x)=1.m+=1,pg+/gv=g p(x8 推论:若p(x)不可约且p(x)(x)…f(x) 则P(x)必整除某个/(x)≤ 、因式分解 问题:V(x)∈F[x]O()>0,f(x)是否可分解为 不可约多项式的乘积? 定理1.5.1:F]中任一个n(m>0)次多项式f(x) 都可以分解成F[x中不可约多项式的乘积 第一章多项式
第一章 多项式 由性质2， ( p x f x ( ), 1. ( )) = pu fv pgu fgv g + = + = 1, p x g x ( ) ( ). 推论： 若 p x( ) 不可约且 ( ) 1 ( ) ( ). s p x f x f x 则 p x( ) 必整除某个 ( ),1 . i f x i s 二、因式分解 问题： f x F x f ( ) , 0, ( ) f x( ) 是否可分解为 不可约多项式的乘积？ 定理1.5.1： F x 中任一个 n n( 0) 次多项式 f x( ) 都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积
证(归纳法): n=1时,命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立,则当 O(f(x)=n时, 1、若f(x)不可约成立; 2、若f(x)可约,f(x)(x)h(x)O(g)<n,a(h)<n 由假设知g(x),h(x)均可分解为不可约多项式的乘积 问题:多项式f(x)分解成不可约多项式的乘积 是否唯一? 第一章多项式
第一章 多项式 证（归纳法）： n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当 = ( f x n ( )) 时， 1、若 f x( ) 不可约成立； 2、若 f x( ) 可约， f x g x h x ( ) ( ) ( ) ( g n h n ) , . ( ) 由假设知 g x h x ( ), ( ) 均可分解为不可约多项式的乘积。 问题：多项式 f x( ) 分解成不可约多项式的乘积 是否唯一？
若f(x)=(x)P2(x)…P,(x),取cC2…Cn=1 则f(x)=cn(x)c2P2(x)…cP,(x) 可见f(x)分解式不唯 定理152:F[x]中任一个次数大于零的多项式 f(x)分解成不可约多项式的乘积: f(x)=P1(x)P2(x)…P(x), 若不计零次多项式的差异和因式的顺序,f(x)分解 成不可约因式的乘积分解式是唯一的,此即若有两 个分解式: 第一章多项式
第一章 多项式 若 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ), r f x p x p x p x = 取 1 2 1. r c c c = 则 ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ), r r f x c p x c p x c p x = 可见 f x( ) 分解式不唯一。 定理1.5.2： F x 中任一个次数大于零的多项式 f x( ) 分解成不可约多项式的乘积： ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ), r f x p x p x p x = 成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式： 若不计零次多项式的差异和因式的顺序， f x( ) 分解
f(x)=P1(x)P2(x)…P(x)=q1(x)42(x)…q(x) 则有①r=s; ②适当调整q(x)的位置后,有 q1(x)=cP1(x),7=12.…,r 证(对分解式中的因式个数用数学归纳法证明): 当r=1时,结论显然成立。 假设当f(x)分解成r1个不可约因式时结论成立, 则当f(x)分解成r个因式时,有 f(x)=P1(x)P2(x)…P(x)=q1(x)q2(x)…q,(x) 第一章多项式
第一章 多项式 ( ) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). r s f x p x p x p x q x q x q x = = 则有① r=s； ② 适当调整 q x j ( ) 的位置后，有 ( ) ( ), i r 1, 2, , i i i q x c p x = = ） 证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）： 当r=1时，结论显然成立。 假设当 f x( ) 分解成r-1个不可约因式时结论成立， 则当 f x( ) 分解成r个因式时，有 ( ) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). r s f x p x p x p x q x q x q x = =
由于A1(x)9(x)(x)g(x,故存在某个q使P(x)9(x) 为方便起见不防设q1(x)就是q1(x)。 41=C1→P2(x)…P(x)=cq2(x)…q(x) 由归纳假设知,这时有r-1=s-1。故r=s,且 q2 1P2=C212,q Cn,i=3,4, 故 q1=C: -2 三、标准(典型)分解式 在/(x)的分解中,可以把每个不可约因式的 第一章多项式
第一章 多项式 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s 由于 p x q x q x q x ，故存在某个 i q 使 1 ( ) ( ) i p x q x ( ) i 为方便起见不防设 q x 就是 q x 1 ( ) 。 1 1 1 q c p = 由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且 三、标准（典型）分解式 在 f x( ) 的分解中，可以把每个不可约因式的 1 2 1 1 2 2 2 q c c p c p , − = = , 3, 4, , i i i q c p i r = = p x p x c q x q x 2 1 2 ( ) ( ) r s = ( ) ( ) , 1, 2, , i i i 故 q c p i r = =