第一章多项式
第一章 多项式
§11数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围,学习数学也是如此。 比如,先学习自然数,然后整数,再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况,都跟数的范围有关。 例如 x2-2在有理数范围内不能分解,在实数范围内 就可以分解。 x2+1=0在实数范围内没有根,在复数范围内就 有根。等等。 第一章多项式
第一章 多项式 §1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围，学习数学也是如此。 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。 例如 2 x − 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内 就可以分解。 2 x + =1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等
我们目前学习的解析几何,数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中,通常不做 这样的限制 在代数中,我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算(即代数运算)是否还在这个集合之中 佧银熨铆是诿外非空集合,定义在A上的一个代数运算 运算颤藂激郸萩俙素楸是憝灘的修在 整数的商荻不集锭禔鳘斆该魃匍窸燚集封枷、减、 乘三种运算封闭,但对除法并不封闭;而有理数集 对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。 同样,实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭 第一章多项式
第一章 多项式 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中 代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。 A A （即运算是否封闭）。 运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个 整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭
根据数对运算的封闭情况,我们把数集分为两类: 数环和数域。 数环 定义1:设S是由一些复数组成的一个非空集合 如果对∨a,b∈S,总有a+b,a-b,a·b∈S 则称S是一个数环。 例如:整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集 C都是数环 问题:1、除了Z、Q、R、C外是否还有其他数环? 2、有没有最小的数环? 例1:设a是一个确定的整数。令S={naln∈2 第一章多项式
第一章 多项式 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。 一、数环 设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 a b S , ，总有 a b a b a b S + − , , 则称S是一个数环。 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 C都是数环。 例如： 问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z = 定义1：
S是一个数环。 特别,当a=2时,S是全体偶数组成的数环 当a=0时,S={0,即只包含一个零组成的数 环,这是最小的数环,称为零环 问题:3、一个数环是否一定包含0元 4、除了零环外,是否还有只含有限个元素的 数环? 例2:证明2()={(+b1b∈z2=}是一个数环 问题:5、除了定义之外,判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法? 第一章多项式
第一章 多项式 则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。 当a=0时， S =0 ，即只包含一个零组成的数 环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？ 例2：证明 ( ) 2 Z i a bi a b Z i = + = − , , 1 是一个数环。 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？
定理1.1.1:设S是一个非空数集,S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中 二、数域 定义2:设F是一个含有不等零的数的数集,如果F 中任两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍在F中, 则称F是一个数域 定义2设F是一个数环,如果①F内含有一个非 零数;②对a,b∈F,且b≠0,则a/b∈F 则称F是一个数域。 例如:有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域, 且是三个最重要的数域 第一章多项式
第一章 多项式 定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 二、数域 定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，如果F 定义 2 ：设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非 零数； ② 对 a b F , , 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域， 则称F是一个数域。 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 且是三个最重要的数域
问题:6、数域与数环之间有什么关系?例2中的数 集是不是数域? 7、除了Q、R、C外,是否还有其他的数域? 例3:证明Q(2)={a+b21b∈Q是一个数域 证明要点:先证Q(√2)有一个非零元1=1+02, 对加、减、乘封闭。再证除法封闭: 设c+a√2≠0→c-√2≠0(否则当d=0→c=0矛盾; 当d≠0→√=s∈Q,也矛盾)。于是 a+b2(a+bv2)(c c+2(+ab-0)=+hab∈Q 第一章多项式
第一章 多项式 问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数 集是不是数域？ 7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？ 例3：证明 Q a b a b Q ( 2 2 , ) = + 是一个数域。 证明要点： 0 2 c d Q d = 设 c d c d + − 2 0 2 0 （否则当 d c = = 0 0 矛盾； 当 ，也矛盾）。于是 ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 2 2 2, , 2 2 2 a b c d a b a b a b Q c d c d c d + − + = = + + + − 先证 Q( 2 ) 有一个非零元 1 1 0 2 = + 对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
可题:8、一个数域必包含哪两个元素? 9、最小的数域是什么? 定理1.1.2:任何数域都包含有理数域Q 证明:设F是一个数域,则彐a∈F,a≠0 于是a-a=0∈F,{a=1∈F 1+1=21+2=3,1+3=4…→NcF 0-1=-1,0+2=-2,0-3=-3,…,→zcF 对Wx∈Q,x≠0,x b∈Z 故x∈F,QcF 问题:10、在判断一个数集是不是数域时,实际上 第一章多项式
第一章 多项式 问题：8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、最小的数域是什么？ 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则 a F a, 0. 于是 a a F a a F − = = 0 , 1 . 1 1 2,1 2 3,1 3 4, , + = + = + = N F 0 1 1, 0 2 2, 0 3 3, , − = − + = − − = − Z F 对 , 0, , , , a x Q x x a b Z b = 故 x F Q F , . 问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上
要检验几种运算? 定理1.1.3:设F是一个含有非零数的数集,则F 是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商(除 数不为零)仍属于F。 问题:11、在Q与R之间是否还有别的数域?在R与C 之间是否有别的数域? 例:对任意素数P,Q(P)={a+bp1b∈ 是一个数域。QcQ(P)<R 在R与C之间不可能有别的数域 设有数域F,使RF≤C,故 彐x∈F,x∈R,x∈C,设X=a+bi,且b≠0 第一章多项式
第一章 多项式 要检验几种运算？ 定理1.1.3：设F是一个含有非零数的数集，则F 问题：11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C 之间是否有别的数域？ 例：对任意素数P， Q P a b p a b Q ( ) = + , 是一个数域。 Q Q P R ( ) 在R与C之间不可能有别的数域。 设有数域F，使 R F C ，故 x F x R x C , , , 设x=a+bi，且 b 0 数不为零）仍属于F。 是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除
(若b=0,则x=a∈R,矛盾) a,b∈R,a,b∈F,bi∈F,b/b=i∈F可见F=C。 问题:12、设S和S2是数环,试问S∩S2S∪S 是不是数环?若是,给出证明 若不是举出反例。 若S和S2是数域情况又如何? SUS2不是数域(a+b5abe,S2={a+b53ab∈Q 两个数域的并,不一定是数域,能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。 (F1F2是数域,则FUF2是数域的充要条件是 F∈F或F2F1)。 第一章多项式
第一章 多项式 （若b=0，则 x a R = ，矛盾）。 a b R a b F bi F bi b i F , , , , , = 可见F=C。 问题：12、设 1 S 和 2 S 是数环，试问 1 2 1 2 S S S S , 是不是数环？若是，给出证明， 若不是举出反例。 若 1 S 和 2 S 是数域情况又如何？ S1 S S a b a b Q S a b a b Q 2 1 2 不是数域,反例: = + = + 2 , , 3 , 两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。 （ 1 2 F F, 是数域，则 F F 1 2 是数域的充要条件是 F F 1 2 或 F F 2 1 ）