第三章第六节 随机变量的独立性
第三章第六节 随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两随机变量独立的定义是: 设X,是两个:v,若对任意的xy,有 P(X≤x,≤y)=P(X≤x)P(Y≤y) 则称XY相互独立 两事件A,B独立的定义是 若P4B)=P4)P(B) 则称事件A,B独立
随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立. 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 P(X x,Y y) = P(X x)P(Y y) 则称X,Y相互独立. 两随机变量独立的定义是：
用分布函数表示,即 设X,Y是两个:,若对任意的x,有 F(x,y=Fx(x)Fy( 则称X,Y相互独立 它表明,两个:相互独立时,它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积
F(x, y) F (x)F ( y) = X Y 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v.，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v.相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积
若(X,是连续型rv,则上述独立性 的定义等价于: 对任意的x,y,有 f(x,y)=x(xfr(y 几乎处处成立,则称X,Y相互独立 其中f(x,y)是XY的联合密度 这里“几乎处处 成立”的含义是 fx(x)2f1(y)分别是X的 在平面上除去面 边缘密度和Y的边缘密度 积为0的集合外, 处处成立
其中 f (x, y) 是X,Y的联合密度， f (x, y) f (x) f ( y) = X Y 几乎处处成立，则称X,Y相互独立 . 对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型r.v. ，则上述独立性 的定义等价于： 这里“几乎处处 成立”的含义是： 在平面上除去面 积为0的集合外， 处处成立. f X (x), f Y ( y) 分别是X的 边缘密度和Y 的边缘密度
若(X,Y是离散型rν,则上述独立性的 定义等价于: 对(X,)的所有可能取值(xny有 P(X=X,Y=y)=P(X=x; P(r=y: 则称X和Y相互独立
若 (X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的 定义等价于： ( , ) ( ) ( ) i j i j P X =x Y = y = P X =x P Y = y 则称X和Y相互独立. 对(X,Y)的所有可能取值(xi , yj ),有
例1考察(书中)例3.2.2(即吸烟与得肺癌关系 的研究)中随机变量X与Y的独立性. 0 0000130.199870.20000 01p 0.0000407990.80000 0.000170.99983 解:P{X=0}P{Y=0}=0.2×0.00017 ≠0.00013=P{X=0,Y=0} X和Y不相互独立
解: 例 1 考察(书中)例3.2.2(即吸烟与得肺癌关系 的研究)中随机变量X与Y的独立性. Y X 0 1 Pi. 0 0.00013 0.19987 0.20000 1 0.00004 0.79996 0.80000 p.j 0．00017 0．99983 1 P{X=0}P{Y=0}=0.20.00017 ≠0.00013=P{X=0,Y=0} ∴X和Y不相互独立
例2设:(X,Y)~N(μ1,p2G1,2,p) 求证:X与Y独立分p=0 证明: f(r,y)= 1(x)20(x)X2)2 2(1-p 2T002v1-p x,∈R
证明: 例2 设:(X ,Y )∼N(1,2,1,2 ,) 求证: X与Y独立 =0 x y R e f x y x u x u y u y u − = − + − − − − − − , 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2
由 fx(x) xX∈R √2zo1 fy(y) y∈R于是: 2O2 “<”把p=0代入 X-ull f(r,v= 21O2 (y=2)2 2 f(f(y) 2兀1 √2兀0·X与Y独立
f x e x R x X = − − 2 1 2 1 1 2 ( ) 2 1 1 ( ) 由 f y e y R y Y = − − 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) “” 把=0代入 − + − − = 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 ( , ) x u y u f x y e ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 2 ( ) 1 e e f x f y X Y x u y u = = − − − − 于是: ∴ X与Y独立
X和Y相互独立∴V(xy)∈R2.有 f(x,y)=fxx) v) 特别,取x=u1,y=u2代入上式有 f(u,, uo)=fx(u)fy(u, 即 2zGa2√1-p2√2no1√2zo2 对比两边∴p=0
“” ∵X和Y相互独立 ∴ (x,y) R 2 .有 f(x,y)= fX(x)fY(y) 对比两边 ∴ =0 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 = − 特别,取 x=u1 , y=u2 代入上式有 f(u1,u2)= fX(u1)fY(u2) 即:
例3设X,的概率密厂 上 e (x+y) 对一切x,y,均有: f(x,y) f(x,y)=fx(f(y 0 故X,Y独立 问X和Y是否独立? Af: fx(x)=xe(x+ dy=xe,x>0 fr()=xe xtydx=e, y>0 xe. x>0 fx(x) f1(y) J少>0 0,其它 0,其它
例3 设(X,Y)的概率密度为 = − + 0, 其它 , 0, 0 ( , ) ( ) xe x y f x y x y 问X和Y是否独立？ 解： − + = 0 ( ) f (x) xe dy x y X − + = 0 ( ) f ( y) xe dx x y Y , x xe− = , y e − = x>0 即： = − 0, 其它 , 0 ( ) xe x f x x X = − 0, 其它 , 0 ( ) e y f y y Y 对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立 f (x, y) f (x) f ( y) = X Y y >0