§1.4多项式的最大公因式
§1.4 多项式的最大公因式
、两个多项式的最大公因式 定义1:f(x),g(x)h(x)∈F[x], 若h(x)(x),(x)f(x) 则6(x)是f(x)8(x)的一个公因式 例如h=x-1是f=x3 x,g=x3-x2-x+1 的一个公因式。 定义2:设d(x)是f(x),(x)的一个公因式 若f(x),g(x)的任一个公因式(x)均有h(x)d(x) 则称d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 第一章多项式
第一章 多项式 一、两个多项式的最大公因式 定义1： f x g x h x F x ( ), , , ( ) ( ) 若 h x g x h x f x ( ) ( ), , ( ) ( ) 则 h x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的一个公因式。 的一个公因式。 定义2：设 d x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的一个公因式。 若 f x g x ( ), ( ) 的任一个公因式 h x( ) 均有 h x d x ( ) ( ), 则称 d x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式。 3 3 2 例如 h x = −1 是 f x x g x x x = − = − − + , 1
问题:1、如何求两个多项式的最大公因式? 2、最大公因式是否唯一? 引理:若f(x)=g(x)q(x)+r(x) 则两对多项式f(x)与g(x),g(x)与r(x)有相同的 公因式和最大公因式。 证:1、设h(x)是f(x,g(x)的公因式 →h(x)是8(x,(x)的公因式 反之,设h(x)是g(x)7(x)的公因式 →h(x)是f(x)g(x)的公因式 第一章多项式
第一章 多项式 问题：1、如何求两个多项式的最大公因式？ 2、最大公因式是否唯一？ 引理： 若 f x g x q x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ), 与 公因式和最大公因式。 证：1、设 h x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的公因式 h x( ) 是 g x r x ( ), ( ) 的公因式。 反之，设 h x( ) 是 g x r x ( ), ( ) 的公因式 h x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的公因式。 则两对多项式 f x( ) 与 g x( ) ， g x( ) r x( ) 有相同的
2、设d(x)是f(x)g(x)的最大公因式 →d(x)是g(x)7(x)的公因式, 对g(x)r(x)的任一公因式m(x) →m(x)是f(x),g(x)的公因式→m()(x) 故d(x)是8(x)(x)的最大公因式 反之同样成立 由引理知,要求f(x),g(x)的最大公因式可以 转化为求g(x)与r(x)的最大公因式。由于 O(7(x)<a(g(x) 根据这种思想,我们可以对 第一章多项式
第一章 多项式 2、设 d x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式 d x( ) 是 g x r x ( ), ( ) 的公因式， 对 g x r x ( ), ( ) 的任一公因式 m x( ) m x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的公因式 m x d x ( ) ( ) 故 d x( ) 是 g x r x ( ), ( ) 的最大公因式。 反之同样成立。 由引理知，要求 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式可以 转化为求 g x( ) 与 r x( ) 的最大公因式。由于 (r x g x ( )) ( ( )) 根据这种思想，我们可以对
f(x),g(x)进行如下的辗转相除: (x)=g(x)91(x)+(x),O( r(x<dg( g(x)=7(x)42(x)+2(x),O((x)<((x) n(x)=n2(x)9(x)+(x),O((x)<a(2(x) (1.4.1) (x)=71(x)9(x)+(x),O(v(x)<(1(x) k+1 x)+0 (x)=0 当进行到某一步时,余式为0。 例如nx1(x)=0,则上一个式子的余式(x) 就是f(x),g(x)的最大公因式。 第一章多项式
第一章 多项式 f x g x ( ), ( ) 进行如下的辗转相除： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 , , , , , , , , 0, 0. k k k k k k k k k k f x g x q x r x r x g x g x r x q x r x r x r x r x r x q x r x r x r x r x r x q x r x r x r x r x r x q x r x − − − − + + = + = + = + = + = + = （1.4.1） 当进行到某一步时，余式为0。 例如 1 ( ) 0, k r x + = 则上一个式子的余式 r x k ( ) 就是 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式
由于余式的次数不断降低,而g(x)的次数是有限 的,故经过有限次辗转相除之后,必然有余式 7n(x)=0, 于是得 定理141:若两个多项式f(x),g(x)经辗转相除 后得一系列等式(141),则f(x)与g(x) 的最大公因式为(x) 定理142:F[x]中任意两个多项式f(x)与g(x) 的最大公因式必存在,且若d(x)是f(x),g(x) 的最大公因式,则必存在v(x),v(x)∈F[x],使 d(x)=f(u(x)+g()v() 第一章多项式
第一章 多项式 1 ( ) 0, k r x + = 于是得 定理1.4.1：若两个多项式 f x g x ( ), ( ) 经辗转相除 后得一系列等式（1.4.1），则 f x g x ( )与 ( ) 的最大公因式为 r x k ( ) 。 定理1.4.2： F x 中任意两个多项式 f x g x ( )与 ( ) 的最大公因式必存在，且若 d x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式，则必存在 u x v x F x ( ), ( ) ，使 由于余式的次数不断降低，而 g x( ) 的次数是有限 的，故经过有限次辗转相除之后，必然有余式 d x f x u x g x v x ( ) = + ( ) ( ) ( ) ( )
证明:1、若f(x)=g(x)=0, 则f(x),g(x)的最大公因式是0。 显然有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),(x),v(x)任意 2、若f(x)≠0,9(x)=0,则f(x)g(x)的最大公 因式是f(x)=f(x)1+g(x)y(x).v(x)任意。 3、若f(x)≠0,g(x)≠0 则由定理14.1知,经辗转相除后可求出它们的最 大公因式为n(x)由(141)可求得l(x),v(x) 使 d(x)=(x)=f(x)(x)+g(x)v(x) 第一章多项式
第一章 多项式 证明： 1、若 f x g x ( ) = = ( ) 0, 则 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式是0。 显然有 d x f x u x g x v x ( ) = + ( ) ( ) ( ) ( ), u x v x ( ), ( ) 任意。 2、若 f x g x ( ) = 0, 0, ( ) 则 f x g x ( ), ( ) 的最大公 因式是 f x f x g x v x ( ) = + ( ) 1 . ( ) ( ) v x( ) 任意。 3、若 f x g x ( ) 0, 0, ( ) 使 d x r x f x u x g x v x ( ) = = + k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 则由定理1.4.1知，经辗转相除后可求出它们的最 大公因式为 ( ) 由（1.4.1）可求得 u x v x ( ), ( ) k r x
设d(x),d2(x)都是f(x)g(x)的最大公因式 则有41(x)d2(x),d2(x)1(x),42(x)=cd1(x) 即两个最大公因式之间仅差一个零次因子 若用((x),g(x)表示f(x),g(x)中首项系数为1的 最大公因式,则(f(x),g(x)唯一确定 第一章多项式
第一章 多项式 设 d x d x 1 2 ( ), ( ) 都是 f x g x ( ), ( ) 的最大公因式， 则有 d x d x d x d x d x c d x 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ), , ( ) ( ) ( ) = ( ) 即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。 若用 ( f x g x ( ), ( )) 表示 f x g x ( ), ( ) 中首项系数为1的 最大公因式，则 ( f x g x ( ), ( )) 唯一确定
例14.1:设f(x)=x2+3x2-x2-4x-3 g(x)=3x2+10x2+2x-3 求(f(x),g(x),和a(x)v(x) 使((x)g(x)=(x)(x)+y(x)(x) 解:(利用辗转相除法) 两个多项式互素 定义3:f(x),g(x)∈F[x]若((x),g(x) 则称f(x),g(x)互素 定理14.5:((x),g(x)=1的充要条件是存在 l(x),v(x)∈F使f(x)(x)+g(x)v(x)=1 第一章多项式 }
第一章 多项式 例1.4.1：设 ( ) 4 3 2 f x x x x x = + − − − 3 4 3, ( ) 3 2 g x x x x = + + − 3 10 2 3. 求 ( f x g x ( ), ( )) ，和 u x v x ( ), , ( ) 使 ( f x g x u x f x v x g x ( ), ( )) = + ( ) ( ) ( ) ( ) 解：（利用辗转相除法） 二、两个多项式互素 定义3： f x g x F x ( ), , ( ) 若 ( f x g x ( ), 1, ( )) = 则称 f x g x ( ), ( ) 互素。 定理1.4.5： ( f x g x ( ), 1 ( )) = u x v x F x ( ), , ( ) 的充要条件是存在 使 f x u x g x v x ( ) ( ) + = ( ) ( ) 1
多项式互素的性质 性质1:若(f(x)(x)=1(8(x)1(x)=1 则((x)g(x),h(x)=1 fi+hv=l, fgu+ hg d(x)(xg(x), d(rh(x) d(x)g(x)→d(x)=1 性质2:若h(x)f(x)9(x),且(h(x),(x)=1 则h(x)(x) 证:h+/=1kg+v=→hg 第一章多项式
第一章 多项式 多项式互素的性质。 性质1：若 ( f x h x g x h x ( ), 1, , 1, ( )) = = ( ( ) ( )) 则 ( f x g x h x ( ) ( ), 1. ( )) = 证： fu hv fgu hgv g + = + = 1, d x f x g x d x h x ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d x g x d x ( ) ( ) ( ) 1. = 性质2：若 h x f x g x ( ) ( ) ( ), 且 (h x f x ( ), 1, ( )) = 则 h x g x ( ) ( ). 证： hu fv hgu fgv g h g + = + = 1,