实变函数 第二章n维空间中的点集 第二节开集与闭集
第二节 开集与闭集 第二章 n 维空间中的点集
4开集、闭集 若E=E,则称E为开集(E中每个点都为内点) 若E=E则称E为闭集(与E紧挨的点不跑到E外) P为E的接触点:V6>0,有On,E≠ P为E的聚点:y6>0.有Om06∩(E-{P)≠ P为E的内点6>0,使得O1nCE 由于E=E∪E=E∪{E的孤立点全体} 故E=E等价于EcE 说明:要证E是开集,只要证EcE因为EcE显然) 要证E是闭集,只要证EcE或EcE因为EcE显然)
⒋开集、闭集 ⚫P0为 E的接触点： ⚫P0为 E的聚点： ⚫P0为 E的内点： O( p , ) E 0 0, 有 O( p , ) E 0 0, 使得 0, ( , ) ( −{ 0 }) 0 有O p E p E E E E E E E E E = = = ' ' ' { } 故 等价于 由于 的孤立点全体 说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证 E E (因为E E显然) E' E或E E(因为E E显然) E = E 若Eº = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）
例:开区间(a,b)为开集 证明:任取x∈(ab)取8-min{|x-a,x-b}, 6) C(a, b) 从而x是(ab)的内点, 故(a,b)是开集。 说明:要证E是开集,只要证EcE(因为EcE显然
例：开区间(a,b)为开集 说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然) a x b ( , ) O( x, ) a b 证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x是（a,b）的内点， 故(a,b)是开集
例:闭区间[a,b]为闭集 证明:任取x∈[ab]取δ-min{kxax-bl}, 则Qxb)∈[abf 从而x不是ab]的接触点, 从而ab]的接触点都在[a,b内,a 从而[a,b]是闭集。 说明:要证E是闭集,只要证 EcE或Ec(E)或ECE或Ec(E)(因为EcE显然)
例：闭区间[a,b]为闭集 说明： 要证E是闭集，只要证 ' ' ( ) ( ) ( ) c c c c E E E E E E E E E E 或 或 或 因为 显然 a b x c O x [a,b] ( , ) 证明：任取x∈[a,b]c ,取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， 从而[a,b]是闭集
注:闭集为对极限运算封闭的点集 ●即:A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 若E=F(或EcE),则称E为闭集。 (与E接近的点不跑到E外) 利用: p为E的接触点的充要条件为存在E中点列{p},使得mP=P 或 p是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{使mP=P
注：闭集为对极限运算封闭的点集 ⚫ 即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 利用： p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 或 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使 得 0 lim pn p n = → 0 lim pn p n = → 若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外） E = E E E
E为开集 证明:只要证Ec(E) 任取x∈E.由内点的定义知3>0使得OxCE 任取 (x,6) 取=-4(xy) 则O,∈O3∈E 从而y为E的内点,从而Q∈E 所以x为E的内点,即x∈(E) E (y,o") 从而Ec(E°),即E为开集 注:E为含于E内的最大开集 (x,O)
Eº为开集 注： Eº为含于E内的最大开集 从而E (E ) ，即E 为开集 则O( y, ') O( x, ) E O( y, ') E O(x, ) E x(E ) 从而y为E的内点，从而 所以x为Eº的内点，即 证明：只要证 E (E ) O( x, ) 0,使得O( x, ) E 任取 x E ，由内点的定义知 O( x, ) 任取 y ，取 ' = − d(x, y)
E`为闭集 (x,) 证明:只要证(E)cE 任取x∈(Ey,由聚点的定义知 E x2,6") Vo>0,有Ox。∩(E'-{x})≠Φ 取x'∈Ox∩(E-{x),由x'∈E 知V6”>0.有Ox(E-{x)≠① (当”<min6-d(x,x),(x,x)时,有 XEOxs CO1
E`为闭集 0,有O( x, ) (E'−{x}) O( x, ) ( ', ') ( ', ') ( , ) ' 0, ( { '}) ( ' min{ ( , '), ( , ')} x x x O E x d x x d x x O O − − 知 有 当 时,有x ） E O( x' , ') ( , ) ' ( ' { }) ' ' x 取x O E x x E − ，由 (E')' E' x(E')' 证明：只要证 任取 ，由聚点的定义知
E`为闭集 ) 知V>0,有Ox(E-{x"})≠Φ (当6<min6-4(x,x)(x,x)时,有xEO1xaOa E 6") 从而00(E-{x})≠ 即x为E的聚点,从而(EycE 利用(E)=(E∪E)=E(E)cEE=E<E 可得E为闭集 注:E为包含E的最小闭集
E`为闭集 注： E 为包含E的最小闭集 ( ', ') ( ', ') ( , ) ' 0, ( { '}) ( ' min{ ( , '), ( , ')} x x x O E x d x x d x x O O − − 知 有 当 时,有x ） 可得 为闭集 利用 E (E)'= (E E')'= E'(E')' E'E' = E' E O( x' , ') O( x, ) E O( x, ) (E −{x}) (E')' E' 从而 即x为E的聚点，从而
2)开集与闭集的对偶性 a(E)=(E)(E)=(E") b若E为开集,则E为闭集 若E为闭集,则E为开集。 P为E的接触点:V8>0.,有O6∩E≠Φ P为E的聚点:8>0,有On∩(E-{P1)≠① P为E的内点:日6>0.使得OmCE sP为E的外点:国>0使得OE=①即 OCE
⑵开集与闭集的对偶性 ⚫P0为 E的接触点： ⚫P0为 E的聚点： ⚫P0为 E的内点： ⚫P0为 E的外点： O( p , ) E 0 0, 有 O( p , ) E 0 0, 使得 0, ( , ) ( −{ 0 }) 0 有O p E p c O( p , ) E = O( p , ) E 0 0 0, , 使得 即 b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。 c c c c (E) (E ) (E ) (E ) a. = =
开集的余集是闭集 证明:设E为开集,即Yx∈E,3>Q使得O、∈E 从而QxE=Φ 从而ⅹ不是E的接触点, 也即E的接触点一定在F内, 从而CE=CE,即E为闭集。 P为E的接触点:V6>0,有On∩E≠中 P为E的内点:6>0,使得Om∈E
开集的余集是闭集 ⚫P0为 E的接触点： ⚫P0为 E的内点： O( p , ) E 0 0, 有 O( p , ) E 0 0, 使得 CE = CE 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 证明：设E为开集，即 x E, 0,使得O( x, ) E ( , ) c 从而 O E x =