实变函数 第五章积分论 第二节 Lesbesgue积分的极限定理
第二节 Lesbesgue积分的极限定理 第五章 积分论
1Leⅵ逐项积分定理 若f(x)为E上非负可测函数列, f1(x)≤f2(x)≤f(x)≤…≤f2(x)≤…,且imfn(x)=f(x) n→)00 U lim f(x)dx= lim f,(xdx n→∞JE En→∞ X 说明:小于等于显然成立, fn(x) 因为(x)总在fx)的下方, f(x) 只要证明大于等于,但一般而 言fx)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把fx)下移一点 注意:当f(x)致收敛x)时 f1(x)才会整体跑到f(x)上方
1.Levi逐项积分定理 → → = E n E n n n 则lim f (x)dx lim f (x)dx 只要证明大于等于，但一般而 言fn (x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。 f(x) cf(x) fn (x) 注意：当fn (x)一致收敛f(x)时， fn (x)才会整体跑到f(x)上方。 ( ) ( ) ( ) ( ) , lim ( ) ( ) 1 2 3 f x f x f x f x f x f x n n n = → 且 若fn (x)为E上非负可测函数列， 说明：小于等于显然成立， 因为fn (x)总在f(x)的下方
逐项积分定理的证明 证明:由条件知f(x)为E上非负可测函数递增列, 所以m(x)减有定义,又f(x)k≤fn(x)x,n=12,3, E E 故mn∫fC)2有定义,且从函数列的渐升性知道 n→DEh( dt≤|f(x)dr lim f (x)dx En→∞ 下证大于等于号 引理1:设En}是递增集列,E=∪En0(x)是R上的非负可测简单 函数,则 lim(x)dx=Lp(x)dx n→)0 引理2:设x)是E上的非负可测函数,A是E中可测子集,则 L, f()ax=ef(x)xa(x)ar
Levi逐项积分定理的证明 = n→ E E x dx x dx n lim ( ) ( ) 引理1：设{En}是递增集列， 是Rn上的非负可测简单 函数，则 , ( ) 1 E E x n n = = f x dx f x dx f x dx n E E n n n E lim ( ) ( ) lim ( ) → → = 引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则 = E A A f (x)dx f (x) (x)dx 证明：由条件知fn (x)为E上非负可测函数递增列， f (x)dx f +1 (x)dx,n =1,2,3, E n E 有定义，又 n f x dx n E n lim ( ) → 所以 → E n n 故lim f (x)dx 有定义，且从函数列的渐升性知道 下证大于等于号
eⅵ逐项积分定理的证明 f(x)x=sup{,oxt:以(x)为E上的简单函数0≤o(x)≤f(x) E E 证明:令c满足0∞JE E op(x)
Levi逐项积分定理的证明 E {x E | f (x) c (x)} 记 n = n ( ) sup{ ( ) : ( ) 0 ( ) ( )} E E f x dx x dx x E x f x = 为 上的简单函数， (x) f (x) 证明：令c满足0<c<1， (x) 是Rn上的非负可测 简单函数，且 E En E n n n = = → =1 且lim 则{En}是递增集列， = n→ E E c x dx c x dx n lim ( ) ( ) 由引理1知 cφ(x) f(x) fn (x) φ(x)
Lev逐项积分定理的证明 En={x∈E|f2(x)≥c(x)} 于是从(应用引理2) X fn(x)dx>.fn(x)xe(x)dx E E fn( L.f()=20)=(xk 得到im「f,(x)x≥c(x)hx n->oo JE E 令c→1则有m[f(x≥[(x) n→>JE 再由的积分定义知m(x)2(x)b 所以Imn[f(x)=f(xh n→00 E E
Levi逐项积分定理的证明 → E E n n 得到lim f (x)dx c (x)dx c f x dx x dx E E n n → → 令 1,则有lim ( ) ( ) f x dx f x dx E E n n = → 所以lim ( ) ( ) E {x E | f (x) c (x)} n = n f x dx f x dx E n n E lim ( ) ( ) 再由的积分定义知 → ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) = = n n n n E E E n E n E E n f x dx c x dx c x dx f x dx f x x dx 于是从（应用引理2） f(x) φ(x) cφ(x) fn (x)
对Leⅵ逐项积分定理的说明 若f(x)为E上非负可测函数列, f(x)≤f2(x)≤f3(x)≤…≤f(x)s…,且lmf(x)=f(x n→0 则 I lim f,(x)kx=mf(x)hx n-Oo JE E X 积分的几何意义(函数非负) (D)lf(dx=mG(E; f E (E)为增集列 m(im G(E; f,)=lim mG(E; Sm) n→)00 n→00 单调增集列测度的性质
对Levi逐项积分定理的说明 f(x) fn (x) fn+1(x) (L) f (x)dx mG(E; f ) E = 积分的几何意义（函数非负）： ( ) ( ) ( ) ( ) , lim ( ) ( ) 1 2 3 f x f x f x f x f x f x n n n = → 且 → → = E n E n n n 则lim f (x)dx lim f (x)dx 若fn (x)为E上非负可测函数列， (lim ( ; ) lim ( ; ) n n n n m G E f mG E f → → = G(E; f n )为递增集列 单调增集列测度的性质
2 Lebesgue逐项积分定理(级数形式) 若fx)为E上非负可测函数列,则 「∑f(x)x=∑(x)k 对比:积分的线性 n=1 n=1 (有限个函数作和) 证明:令g,(x)=∑f(x) 然后利用Lev逐项 圆则g(x)为非负可测函数递增列,且积分定理叫 ∑f,(x)=limg,(x) 对应于测度的可数可加性mA)=∑m4
2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式） 然后利用Levi逐项 积分定理即可 ( ) ( ) { ( )} ( ) ( ) lim 1 1 f x g x g x g x f x n n n n n n i n i → = = = = 则 为非负可测函数递增列，且 证明：令 = = = 1 1 ( ) i i i i 对应于测度的可数可加性 m A mA = = = 1 1 ( ) ( ) n n E n E n f x dx f x dx 若fn (x)为E上非负可测函数列， 则 对比:积分的线性 (有限个函数作和)
例试求∑(R) n=1 (1+x2) 解:令(x)=1,xeEL 则/(x)为非负连续函数,当然为非负可测函数, 从m∑A+x a∑(L) x 1,1(+x (L) =(L) I 11(1+x2) 定理:若f(x)在[ab]上 Riemann可积,则x)在 ab1 Lebesgue l积,且/(hk=(/n
例 试求 dx x x R n n =1 − + 1 1 2 2 (1 ) ( ) : ( ) , [ 1,1] (1 ) 2 2 = − + f x n x x x 解 令 n dx x x R n n =1 − + 1 1 2 2 (1 ) 从而 ( ) dx x x L n n = − + = 1 [ 1,1] 2 2 (1 ) ( ) − = + = [ 1,1] 1 2 2 (1 ) ( ) dx x x L n n ( ) 1 2 [ 1,1] = = − L dx f (x) 则 n 为非负连续函数，当然为非负可测函数， 定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在 [a,b]上Lebesgue可积，且 = b a b a (L) f (x)dx (R) f (x)dx [ , ]
试从,=(1-x)+(x2-x3)+…+(x2-x20)+…,0<x<1 x 证明ln2=1 (1)+1 234 解:令f(x)=x2n2-x2n,x∈(0,1)n=1,2,3 则(x)为非负连续函数,当然为可测函数, 从而由 Lebesgue逐项积分定理知: dx= (0,1)1+x (0,1) ∑(xM=∑(D (0.1)n(xdx ∑(R)f2(xxhx n=1 1 ∑ (R)(x 2n-2 2n-1 dx=∑ 0 2n-12 (-1) ∴,十 234 另外(L) =ln2从而结论成立 (0,1)1+x R 01+x
例 (1 ) ( ) ( ) ,0 1 1 1 2 3 2 2 2 1 = − + − + + − + + − − x x x x x x x 试从 n n = − + − ++ − + + n n 1 ( 1) 4 1 3 1 2 1 证明ln 2 1 解：令f n (x) = x 2n−2 − x 2n−1 , x(0,1), n =1,2,3, dx L f x dx L f x dx R f x dx x L n n n n n n = = = = = = + 1 1 0 1 (0,1) (0,1) 1 (0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) R x x dx n n n ( ) ( ) 1 1 0 2 2 2 1 = − − = − = − − = 1 ) 2 1 2 1 1 ( n n n 1 (0,1) 0 1 1 ( ) ( ) ln 2 1 1 L dx R dx x x = = + + 另外 + − = − + − + + + n n 1 ( 1) 4 1 3 1 2 1 1 从而结论成立 f (x) 则 n 为非负连续函数，当然为可测函数， 从而由Lebesgue逐项积分定理知：
3积分的可数可加性 Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数 积分的可数可加性是关于积分区域 若f(x)在E=出EEn可测且两两不交) 上非负可测或可积,则[fx=∑/CM 证明:由∫f(x)k=f(xx(xb 然后利用 Lebesgue 及f(x)=∑f(x)xE(x) 逐项积分定理即可 对应于测度的可数可加性m(A)=∑m4
3.积分的可数可加性 然后利用Lebesgue ( ) ( ) ( ) 逐项积分定理即可 ( ) ( ) ( ) 1 f x f x x f x dx f x x dx n n n E n E E E = = = 及 证明：由 ， = = = 1 1 ( ) i i i i 对应于测度的可数可加性 m A mA Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数 积分的可数可加性是关于积分区域 = = = 1 ( ) ( ) 1 n En En n f x dx f x dx n n E E = = 若f(x)在 1 （En可测且两两不交） 上非负可测或可积，则