实变函数 第六章函数空间L简介 第一节Lp-空间简介 本讲目的:掌握函数空间D定义及其重 要意义, 重点与难点: Newton-Leibniz公式的证 明
第六章 函数空间L p简介 本讲目的：掌握函数空间Lp的定义及其重 要意义， 重点与难点： Newton-Leibniz公式的证 明。 第一节 Lp-空间简介
第一节Lp空间简介 人们在用迭代方法解微分方程或积分方程 时,常常会碰到这样的问题:尽管任意有限次 迭代函数都是很好的函数(可微或连续函数), 但当施行极限手续以求出准确解时却发现,迭 代序列的极限不在原来所限定的范围内,这促 使人们将函数的范围拓宽,空间理论正是在此 基础上产生的。1907年,F. Riesz与 Frechet 首先定义了0,1上的平方可积函数空间,即 I(O1)△{f|丿是 Lebesgue可测函教,且|∫可积}
第一节 Lp-空间简介 人们在用迭代方法解微分方程或积分方程 时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次 迭代函数都是很好的函数（可微或连续函数）， 但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭 代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促 使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此 基础上产生的。1907年，F.Riesz与Frechet 首先定义了[0，1]上的平方可积函数空间，即 ([0,1]) { | , | | } L p f f是Lebesgue可测函数 且 f 2 可积
第一节Lp空间简 随后,人们又进一步考察p-方可积函数,得 到空间LP,考虑这些空间的一个基本思想是 不再是将每一个函数当作一个孤立对象看,而 是作为某一类集合中的一个元素,将这个函数 集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所 研究的 Lebesgue可测函数是一棵棵的树木,现 在则要将这些树木放在起构成一片森林
第一节 Lp-空间简介 随后,人们又进一步考察p-方可积函数，得 到空间 ,考虑这些空间的一个基本思想是， 不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而 是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数 集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所 研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木, 现 在则要将这些树木放在起构成一片森林。 p L
第一节Lp-空间简介 DP一空间的定义 我们知道,R中有线性运算,有距离公式,对于 两个函数,可以定义它们的线性运算,但它们之间所 谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先,所定义 的距离必须有意义,例如,对f([a,b)中的两个函 数f,g,可以用mx(x)-g(x)定义它们的距离,但 如果用它来定义一般 Lebesgue可测函数间的距离显 然是不合适的。其次,所定义的距离,必须满足距离 的一些最基本的性质。这些性质是什么呢?我们可以 通过P中的距离归纳出来,即下面的
第一节 Lp-空间简介 p L C([a,b]) 一. —空间的定义 f , g max | f (x) g(x)| a x b − n R 我们知道，Rn中有线性运算，有距离公式，对于 两个函数，可以定义它们的线性运算，但它们之间所 谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先，所定义 的距离必须有意义，例如，对于 中的两个函 数 ，可以用 定义它们的距离，但 如果用它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显 然是不合适的。其次，所定义的距离，必须满足距离 的一些最基本的性质。这些性质是什么呢？我们可以 通过 中的距离归纳出来，即下面的
第 LP空间简介 定义1设A是一个集合p是A×A到R的函数。满足: (i)对任意f,g∈A,p(f,g)≥0并且m,g)=0 当且仅当f=g(非负性) i)对任意f,g∈A,(,g)=p(,8对称性) i)对时意f,g,h∈A,p(f,g)≤p(f,h)+p(h,g) (三角不等式)。则称是A上的距离 设1sp<∞,E∈L,记D(E)=ff 是E上的可测函数且()d<
第一节 L p -空间简介 定义1 设 A 是一个集合。 是A A到R 1 的函数。满足： （i）对任意 ( ) , , ( , ) 0 ( , ) 0 当且仅当 非负性 并且 f g f g A f g f g = = （ii）对任意 f , g A, ( f , g) = ( f , g)(对称性) （iii）对任意 f , g,h A, ( f , g) ( f ,h) + (h, g) （三角不等式）。则称是A上的距离 是E上的Lebesgue可测函数， p E L L E f f p n 设 1 , ,记 ( ) ={ | 且 E p | f (x)| dx }
第一节LP空间简介 对任意f,g∈(E)及a,B∈R,显然+g仍 是E上的可测函数,由于对任意实数a,b有 la+b|≤2max{a|,|b|}, 所以 af(x)+Bg(x)l<2 max af()p, Bg(xP) ≤2(c|2f(x)P+BPg(x
第一节 L p -空间简介 对任意 ，显然 仍 是E上的可测函数，由于对任意实数 ，有 1 f , g L (E) , R p 及 f + g a,b | a + b | 2max{| a |,| b |}, 所以 | ( ) ( )| 2 max{| ( )| ,| ( )| } p p p p f x + g x f x g x 2 (| | | ( )| | | | ( )| ) p p p p p f x + g x
第一节LP空间简介 因此不难看出af+B∈D(E 从(E)的定义,启发我们以下面的方式定义Z(E) 上的距离;p(,g)=[f(x)-8(x)dy 由上面的讨论,显见对任意f,g∈L(E有 0≤p(f,g)<+∞
第一节 L p -空间简介 因此不难看出 。 从 的定义，启发我们以下面的方式定义 上的距离： 由上面的讨论，显见对任意 ，有 f g L (E) p + L (E) p L (E) p p E p p f g f x g x dx 1/ ( , ) [ | ( ) ( )| ] = − f , g L (E) p 0 ( f , g) +
第一节LP空间简介 即p是L(E)×(E)上非负的有限函数。它是不是D(E) 上的距离呢?为此,设p(,g)=0,则得 |f(x)-g(x)d1=0, 于是1(x)-g()=0,进而 f(x)-g(x)=0a.eE] 由此立得f(x)=g(x)a,e,[E] 另一方面,若 f(x)=f(x)aeE g(x)=g(x)ae [E]
第一节 L p -空间简介 即 上非负的有限函数。它是不是 上的距离呢？为此，设 ，则得 ， 于是 ，进而 由此立得 另一方面，若 L (E) L (E) p p 是 L (E) p ( f , g) = 0 [ | ( ) ( ) | ] 0 1 − = p E p f x g x dx [ | ( ) − ( )| = 0 E p f x g x dx | f (x) g(x)| 0 a.e.[E]. p − = f (x) = g(x)a.e.[E]. ( ) ( ) . .[ ] f x = f 1 x a e E ( ) ( ) . .[ ] g x = g1 x a e E
第一节LP空间简介 yu f(x)-g(x)=f(x)-g,(x)ae[E] 从而p(f,g)=(f1,g1) 上述分析说明,D(,g)并不是L(E)上的距离,但 使(,g)=0的函数必有几乎处处相等的,反之亦 然。因此,我们可以将D(E)中几乎处处相等的函数 放在一起,从而构成新的集合: L(E)={f∈D(E∈[当且仅当f=gae[E]}
第一节 L p -空间简介 则 ， 从 而 。 上述分析说明， 并不是 上的距离，但 使 的函数必有几乎处处相等的，反之亦 然。因此，我们可以将 中几乎处处相等的函数 放在一起，从而构成新的集合： 当且仅当 ( ) ( ) ( ) ( ) . .[ ] f x − g x = f 1 x − g1 x a e E ( , ) ( , ) 1 g1 f g = f ( f , g) L (E) p ( f , g) = 0 L (E) p L (E) {[ f ]| f L (E), g [ f ] p p = f = g a.e.[E]}
第一节LP空间简介 对任意Dn|ge(E),定义/8)1-gPdP 不难看到,对任意f∈[厂]gp∈[g],恒有 -gPay=可-8Pad 故上面的定义是无歧义的,此外,若pD(/][g=0 则显然有[门=[g]。这样,作为L(E)×D(E) 上的函数的确满足距离定义中的(i),至于(i)则是 显而易见的,所以只需验证它是否满足(i)
第一节 L p -空间简介 对任意 ，定义 不难看到，对任意 ， ，恒有 故上面的定义是无歧义的，此外，若 ， 则显然有 。这样， 作为 上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是 显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。 [ f ],[g] L (E) p p p E f g f g dx 1/ ([ ],[ ]) = [ | − | ] [ ] 1 f f [ ] g1 g p p E p p E f g dx f g dx 1/ 1 1 1/ [ | − | ] = [ | − | ] ([ f ],[g]) = 0 [ f ] = [g] L (E) L (E) p p