实变函数 第一章集合及其基数 习题讲解
习题讲解 第一章 集合及其基数
1对平面上的任意两个非有理点,一定存在一条 折线不过有理点 连接两非有理点,并作中垂线, 任取中垂线上一点z,连接x 得到一条连接x,y的折线,这样 的折线有连续势条,而平面上的 有理点只有可数个,故一定存在 条折线不过有理点
1 对平面上的任意两个非有理点,一定存在一条 折线不过有理点 连接两非有理点,并作中垂线, 任取中垂线上一点z,连接xz,zy 得到一条连接x,y的折线,这样 的折线有连续势条,而平面上的 有理点只有可数个,故一定存在 一条折线不过有理点。 y x z
2设A中的元素是直线上两两不交的开区间, 则A为至多可数集 证明:由于有理数在直线上稠密,故可在 每个开区间内取一有理点,则这些有理 点两两不同,从而A与有理数集的一个子 集对等,另外有理数集是可数集,所以A 至多可数。 注意:不能通过任取一个区间作为第一个,然后左边最靠 的作为第二个,右边最靠近的作为第三个,一直如此下去,得 到所有开区间的一个排列(如 Cantor集的余集)
2 设A中的元素是直线上两两不交的开区间, 则A为至多可数集 证明:由于有理数在直线上稠密,故可在 每个开区间内取一有理点,则这些有理 点两两不同,从而A与有理数集的一个子 集对等,另外有理数集是可数集,所以A 至多可数。 ( ) ( ) ( ) r 注意:不能通过任取一个区间作为第一个,然后左边最靠近 的作为第二个,右边最靠近的作为第三个,一直如此下去,得 到所有开区间的一个排列(如Cantor集的余集)
Cantor集 对[0,1区间三等分,去掉中间一个开区间 然后对留下的两个闭区间三等分,各自去掉中间一个开区间, 此过程一直进行下去,最后留下的点即为 Cantor集
Cantor集 对[0,1]区间三等分,去掉中间一个开区间, 然后对留下的两个闭区间三等分,各自去掉中间一个开区间, 此过程一直进行下去,最后留下的点即为Cantor集
3设A∪B=N,则A,B中至少有一个势为N 证明:不妨设AB=R2(因为R2=N) 显然A≤N,B≤N若A<N 则∈Rxy)y∈Rz4 所以vx∈Ry,∈R,使(x,y)∈B 从而B≥{(x,y,)x∈R}=N 由 Bernstein定理可知B=N 所以A,B中至少有一个连续势集
3 设A B =,则A,B中至少有一个势为 显然A ,B ,若A 则xR,{(x, y)| yR} A 所以xR,yx R,使(x, yx )B 从而B {( x, yx )| x R} = ( ) 2 2 证明:不妨设AB = R 因为R = x 由Bernstein定理可知 B = 所以A,B中至少有一个连续势集
3设A∪B=N,则A,B中至少有一个势为N 另证:不妨设A∪B=R2(因为R2=N)显然4≤NBsN 令p:R2→>R(x,y)H>x P,:R2→R(x,y)+>y 若A<N,B<时则p(4<P、(B)< 从而x∈R使Vy∈R,(x02y)≠A 3y∈R使∨x∈R(xy)B 从而(y)AUB,得到矛盾 所以A,B中至少有一个为连续势集
3 设A B =,则A,B中至少有一个势为 p R R x y y p R R x y x y x : ( , ) : ( , ) 2 2 → 令 → 若A ,B , p (A) , p (B) , 则 x y y R x R x y B x R y R x y A , ,( , ) , ,( , ) 0 0 0 0 使 从而 使 ( ) 2 2 另证:不妨设AB = R 因为R = 显然A ,B , x y (x,y) 从而 (x0 , y0 ) AB ,得到矛盾 所以A,B中至少有一个为连续势集
4设4,=则A4中至少有一个势为N 证明:不妨设∪4,=R”= RXRXRX…(因为R”=N) 令pn:R→Rn=12,3 显然n,A,≤N (x,x2,x32…,xn2…)>xn 若n,A<则vn,p,(4n)<N 从而Vn,3xn0∈R使x0P(41) 从而(xn…xm-)4,得到矛盾 1= 所以A中至少有一个为连续势集
4 n n n x x x x x p R R n ( , , , , , ) : 1,2,3, 1 2 3 → = 令 , , An 若 n , ( ) , 则 n pn An , , ( ) n0 n0 pn An 从而n x R 使x = = 设 n 则 n 中至少有一个势为 n A , A 1 ( ) 1 = = = = An R R R R R n 证明:不妨设 因为 , , An 显然 n x (x,y,z) y z n n x x xn A = 1 10 20 0 从而 ( , ,, ,) ,得到矛盾 所以An中至少有一个为连续势集
5 0,1]上的全体连续函数集E的势为N 首先E→2:0,→{H∈R}~R 所以 E≥处 其次令{rn}为[0,1中有理数全体,对每一f∈E 构造实数列{(n)},由有理数在01中稠及 连续可知E中不同的元对应的实数列也不同 从而E与实数列全体R的一个子集对等。 所以E≤N
5 [0,1]上的全体连续函数集E的势为 其次令{rn}为[0,1]中有理数全体,对每一f∈E 构造实数列{f(rn )},由有理数在[0,1]中稠密及 f连续可知E中不同的元对应的实数列也不同, 从而E与实数列全体R∞的一个子集对等。 所以 E E 首先 所以 E { f :[0,1]→{}| R} ~ R λ 0 1
6[0,的全体实函数集E的势为2州 首先E={xx)4c[0~20 所以 E≥2N 其次E~{在平面坐标系下的图象/∈B}c2 所以 E≤2N
6 [0,1]上的全体实函数集E的势为2 其次 所以 R R E f f E ~ { 在平面坐标系下的图象| } 2 E 2 E 2 首先 所以 [0,1] E { A ( x )| A [ 0,1]} ~ 2 0 1