实变函数 第六章函数空间Lp简介(续) 第二节Lp-空间简介(续) 本讲目的:掌握LP空间中的按范数收敛 概念,熟悉几种收敛概念的关系,了解 LP空间的科学意义及其在微分、积分方 程中的应用。 重点与难点:几种收敛概念的关系
第六章 函数空间Lp简介(续) 本讲目的：掌握L p -空间中的按范数收敛 概念，熟悉几种收敛概念的关系，了解 L p-空间的科学意义及其在微分、积分方 程中的应用。 重点与难点：几种收敛概念的关系。 第二节 Lp-空间简介(续)
第二节Lp-空间简介(续) 既然已经有了距离概念,我们便可以在I(E)中定 义序列的极限 定义2设f∈L(E),fn∈L(E),=1,2, 如果mnp(n,)=0,即|n-fn→>0,则 n→) 称{n}是p-方平均收敛到f的可测函数列, 或说厂n按(E)中范数收敛到f,记作 m减或-→>f(m→∞) n→)0o
第二节 Lp-空间简介(续) 既然已经有了距离概念，我们便可以在 中定 义序列的极限。 定义2设 ， ， ， 如果 ，即 ，则 称 是 方平均收敛到 的可测函数列， 或说 按 中范数收敛到 ，记作 L (E) p f L (E) p f L (E) p n n =1,2, lim ( , ) = 0 → f f n n − → 0 n p f f { }n f p − lim || || ( ) || || ⎯ ⎯→ → → f f f f n p n p n n 或 f f L (E) p n f
第二节L空间简介(续) 至此,我们又有了一种函数序列的收敛概念, 这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测 度收敛概念是什么关系?这是我们应该弄清楚 的问题。 例1令E=[0,, n.0<x f(x) 0.≤x≤1或x=0
第二节 L p -空间简介 (续) 至此，我们又有了一种函数序列的收敛概念， 这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测 度收敛概念是什么关系？这是我们应该弄清楚 的问题。 例1 令 E = [0,1] ， = = 1 0 1 0, 1 , 0 ( ) x x n n n x f x n 或
第二节L空间简介(续) 则对任意x∈01],f(x)→>0(→∞),即fn 在[O,1上处处收敛到f=0。然而,当把f 看作L(E(p≥1)中的元素时,有 p(m, 0)=[lI,(x)Ip dx]p=n >+∞,p>1 =,p=1 因此fn按(E)中范数并不收敛到O
第二节 L p -空间简介 (续) 则对任意 ， ，即 在 上处处收敛到 。然而，当把 看作 中的元素时，有 因此 按 中范数并不收敛到0。 x[0,1] f (x) → 0(n → ) n n f [0,1] f = 0 n f L (E)( p 1) p = → + = = − 1, 1 , 1 ( ,0) [ | ( ) | ] 1 1 1 p p f f x dx n p p p n E n n f L (E) p
第二节LP空间简介(续) 例2设E=[0,1],记 x∈ k1k k (=1,2,…k) 令 0.x∈ k 0(x)=m(x),2(x)=f12(x),q3(x)=f2(x) 0(x)=f(x)9(x)=f2(x),96(x)=f3(x)
第二节 L p -空间简介 (续) 例2 设 ，记 令 …… E = [0,1] ( 1,2, ) , ) 1 0, [ , ) 1 1, [ ( ) ( ) i k k i k i x k i k i x f x k i = − − = ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), (2) 3 2 (2) 2 1 (1) 1 1 x = f x x = f x x = f x ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), (3) 6 3 (3) 5 2 (3) 4 1 x = f x x = f x x = f x
第二节L空间简介(续) 我们已经知道((x)是处处不收敛到的函数 现设 p,≥则在4)有 若(x)=(x),则p(,0)=gnPc p(n0)=∫ n I dx 由于n→>∞时,显然有k,→>∞,所以(20)→0 即ON>0(n->∞)
第二节 L p -空间简介 (续) 我们已经知道 是处处不收敛到0的函数， 现设 ，则在 中，有 若 , 则 由于 时，显然有 ，所以 即 。 { (x)} n p 1 L (E) p p p n E n dx 1 ( ,0) [ | | ] = ( ) ( ) ( ) x f x n n k n = i p p n E n dx 1 ( ,0) [ | | ] = n → kn → ( ,0) → 0 n 0( ) || || ⎯ ⎯→ → n p n
第二节L空间简介(续) 从例1、例2立知,处处收敛不蕴含p 方平均收敛,p-方平均收敛也不蕴含处处 收敛。但下面的定理指出,P-方平均收敛 蕴含依测度收敛。 定理3设,f∈L(E),k=1,2 且p(f2)→>0,则f→f。 证明:对任意E>Q记 Ek(E)=E{x‖f(x)-f(x)≥8} 则
第二节 L p -空间简介 (续) 从例1、例2立知，处处收敛不蕴含 方平均收敛， 方平均收敛也不蕴含处处 收敛。但下面的定理指出， 方平均收敛 蕴含依测度收敛。 定理3 设 。 且 ，则 。 p − p − p − f k , f L p (E), k =1,2, ( f k , f ) → 0 f f k 证明：对任意 。记 ， 则 0 E () = E{x || f (x) − f (x) } k k
第二节LP空间简介(续) p(r,f)=[Va-fIedx]p I eEx]P=&[m(Ek(E]P I lIfk-fpdx]p Ek(a) 由于,P(fk,)→少0所以对任何固定的E有 m(E(8)sn[p(,)→0(k→),即f→f 证毕
第二节 L p -空间简介 (续) 由于， 所以对任何固定的 有 ，即 证毕。 p p k E k f f f f dx 1 ( , ) = [ | − | ] p p k E f f dx k 1 ( ) [ | − ] p k p p E dx m E k 1 1 ( ) [ ] [ ( ( ))] = ( f , f ) → 0 k [ ( , )] 0 ( ) 1 m(E ( )) f f → k → p k p k f f k
第二节L空间简介(续) 推论若fk,f,∈L(E)且,则f=g即(E)中 序列的极限是唯一的。 证明:由定理3及p(k2g)→>0,D(3)>0 知fk→f,f→8,再由第三章§2定理6知 f=ga.e[E,故作为L(E)中元,有 f=g 证毕 P(,g)→>0p(f,)→>0
第二节 L p -空间简介 (续) 推论 若 ， 且 ，则 。即 中 序列的极限是唯一的。 证明：由定理3及 ， 知 ， ，再由第三章§2定理6知 ，故作为 中元，有 。 证毕。 f , f , g L (E) p k ( f , f ) →0, 0 k ( f k , g) → f = g L (E) p ( f k , g) → 0 ( f k , f ) → 0 f f k f k g f = g a. e [E] L (E) p f = g
第二节L空间简介(续) 定理4设/,f∈(E)如果p(2/)→>0则 l彡k|-刈f‖ 证明:注意到 ‖∫Sf-夭k‖+‖‖ p |f-f‖l+‖f 及 ‖f-fk‖l=p(/k2)→>0
第二节 L p -空间简介 (续) 定理4 设 ，如果 ，则 证明：注意到 ， 及 f , f L (E) p k ( f , f ) → 0 k k p p || f || →|| f || p k p k p || f || || f − f || + || f || k p k p p || f || || f − f || + || f || || f − f k || p = ( f k , f ) → 0