第一章蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法的基本思想 2.萦特卡罗方法的收敛性,误差 3.蒙特卡罗方法的特点 4.蒙特卡罗方法的主要应用范围 作业
第一章 蒙特卡罗方法概述 1. 蒙特卡罗方法的基本思想 2. 蒙特卡罗方法的收敛性，误差 3. 蒙特卡罗方法的特点 4. 蒙特卡罗方法的主要应用范围 ➢ 作 业
第一章蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法 半个多世纪以来,由于科学技术的发展和电子计算机 的发明,这种方法作为一种独立的方法被提出来,并 首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗 方法是一种计算方法,但与一般数值计算方法有很大 区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于 蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理 实验过程,解决一些数值方法难以解决的问题,因而 该方法的应用领域日趋广泛
第一章 蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。 半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机 的发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并 首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗 方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大 区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于 蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理 实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而 该方法的应用领域日趋广泛
1.蒙特卡罗方法的基本思想 二十世纪四十年代中期,由于科学技术的发展和 电子计算机的发明,蒙特卡罗方法作为一种独立的方 法被提出来,并首先在核武器的试验与研制中得到 应用。但其基本思想并非新颖,人们在生产实践和科 学试验中就己发现,并加以利用。 两个例子 例1蒲丰氏问题 例2.射击问题(打靶游戏) 基本思想 计算机模拟试验过程
1. 蒙特卡罗方法的基本思想 二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和 电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方 法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了 应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科 学试验中就已发现，并加以利用。 ➢ 两个例子 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏） ➢ 基本思想 ➢ 计算机模拟试验过程
例1.蒲丰氏问题 为了求得圆周率π值,在十九世纪后期,有很多人 作了这样的试验:将长为2的一根针任意投到地面 用针与一组相间距离为2a(l<a)的平行线相交的频 率代替概率P,再利用准确的关系式: 2l P 求出π值 22/ N ap a 其中N为投计次数,n为针与平行线相交次数。这 就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题
例1. 蒲丰氏问题 为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人 作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上， 用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频 率代替概率P，再利用准确的关系式： 求出π值 其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这 就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。 a l P 2 = ( ) 2 2 n N a l aP l =
些人进行了实验,其结果列于下表: 实验者 年份投计次数m的实验值 沃尔弗(Wolf 8505000 3.1596 斯密思( Smith)18553204 3.1553 福克斯(Fox)1894120 3.1419 拉查里尼 19013408 3.1415929 Lazzarini)
一些人进行了实验，其结果列于下表 ： 实验者 年份 投计次数 π的实验值 沃尔弗(Wolf) 1850 5000 3.1596 斯密思(Smith) 1855 3204 3.1553 福克斯(Fox) 1894 1120 3.1419 拉查里尼 (Lazzarini) 1901 3408 3.1415929
例2.射击问题(打靶游戏) 设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离,g( 表示击中处相应的得分数(环数),f(r)为该运动员的 弹着点的分布密度函数,它反映运动员的射击水平。 该运动员的射击成绩为 g>=()() 用概率语言来说,是随机变量()的数学期 望,即 g>=elg(r)
例2. 射击问题（打靶游戏） 设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r) 表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的 弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。 该运动员的射击成绩为 用概率语言来说，是随机变量ｇ(r)的数学期 望，即 g = Eg(r) = 0 g g(r) f (r)dr
现假设该运动员进行了N次射击,每次射击的弹 着点依次为r1,2,…N,则N次得分g(r), g(r2),…,g(x)的算术平均值 M28(x) 代表了该运动员的成绩。换言之,为积分的估 计值,或近似值。 在该例中,用N次试验所得成绩的算术平均值作 为数学期望的估计值(积分近似值)
现假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹 着点依次为 r1 ， r2 ， … ， rN ， 则 Ｎ 次得分 g(r1 ) ， g(r2 )，…，g(rN )的算术平均值 代表了该运动员的成绩。换言之，为积分的估 计值，或近似值。 在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作 为数学期望的估计值（积分近似值）。 = = N i N i g r N g 1 ( ) 1
>基本思想 由以上两个例子可以看出,当所求问题的解是某 个事件的概率,或者是某个随机变量的数学期望,或 者是与概率、数学期望有关的量时,通过某种试验的 方法,得出该事件发生的频率,或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值,通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想 当随机变量的取值仅为1或0时,它的数学期望就 是某个事件的概率。或者说,某种事件的概率也是随 机变量(仅取值为1或0)的数学期望
➢ 基本思想 由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某 个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或 者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的 方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就 是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随 机变量（仅取值为1或0）的数学期望
因此,可以通俗地说,蒙特卡罗方法是用随机试 验的方法计算积分,即将所要计算的积分看作服从某 种分布密度函数八()的随机变量g(r)的数学期望 =l g(r)f(rdr 通过某种试验,得到N个观察值r,r2,…,rx(用概 率语言来说,从分布密度函数fn)中插取N个子样r r2,…,rx,),将相应的N个随机变量的值g(r1), g(r2),…,g(r)的算术平均值 g ∑ g(r) N 作为积分的估计值(近似值)
因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试 验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某 种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望 通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概 率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1， r2，…，rN，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1 )， g(r2 )，…，g(rN )的算术平均值 作为积分的估计值（近似值）。 = = N i N i g r N g 1 ( ) 1 = 0 g g(r) f (r)dr
为了得到具有一定精确度的近似解,所需试验的 次数是很多的,通过人工方法作大量的试验相当困难 甚至是不可能的。因此,蒙特卡罗方法的基本思想虽 然早已被人们提出,却很少被使用。本世纪四十年代 以来,由于电子计算机的出现,使得人们可以通过电 子计算机来模拟随机试验过程,把巨大数目的随机试 验交由计算机完成,使得蒙特卡罗方法得以广泛地应 用,在现代化的科学技术中发挥应有的作用
为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的 次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难， 甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽 然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代 以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电 子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试 验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应 用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用