《概率论与数理统计》课程教学资源：概率统计中的反例.doc_大学文库

第一章随机事件及其概率 1.同一问题的概型未必唯一概型( Schema)是随机现象的数学形式,它不是实际本身,而是实际的数学抽象。对于现实世界中的随机现象,要想进入数学理论的硏究,首先必须确定其概型。由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性,使得所选定的概型往往不是唯的概率论中著名的“n个球在n个盒子中的分布问题”(见王梓坤《概率论基础及其应用》P12-13科学出版社)就说明了这一情况,这是一个典型概型的问题,内容是:设有r个球,每个都能以相同概率l/落到n个盒子(n>=r)的每一个盒子中,求指定的某r个盒子中各有一个球的概率如果我们把r各球视作r个人,而把n个盒子视为一年的天数:n=365.这时上述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型。此问题是求参加某次集会的几个人中,没有n个人生日相同的概率。众所周知,关于球彼此间可以认为是有区别,也可以认为无区别;一个盒子可以假定仅能容纳一个球,也可以允许它能容纳许多球,如此一来,就可以分为以下几种概型: (1)马克斯威尔一波尔茨曼认为球彼此之间有区别,且对每盒中可容纳球数不加限制 (2) 玻色一爱因斯坦认为球彼此不能区别,且对每盒中可容纳球数不加限制 (3) 费密一狄雷克认为球彼此无区别,且限制每盒中不能同时容纳二个球后来,为了统一以上三种情况,又产生了第四种情况 (4)布里龙认为球彼此可以区别,且增加了一些其他条件限制(见杨宗磐《概率论入门》P13科学出版社) 以上四种情况,形成了统计物理学中的四种统计:球可看作为质点,盒子看作状态再看一例:n个人围成一个圆周,求其中甲、乙两人之间恰有r(<n2)个人的概率。(圆周排列时,仅考虑从甲到乙的顺时针方向)对此问题,至少可找到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验: (1)n个人的任意一种排列作为一个基本事件 (2)仅以甲、乙两人在n个人一行中的不同排法作为基本事件组; (3)可由甲与乙之间的间隔数来考虑不论取何种概型,本题的求概率均为1/(n- 2.事件间的关系 (1).由A-B=C推不出A=BUC 事实上,令A=1.34},B={135},于是C=AB=24},而BC={2345}≠A

第一章随机事件及其概率 1．同一问题的概型未必唯一概型（Schema）是随机现象的数学形式，它不是实际本身，而是实际的数学抽象。对于现实世界中的随机现象，要想进入数学理论的研究，首先必须确定其概型。由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性，使得所选定的概型往往不是唯一的。概率论中著名的“n 个球在 n 个盒子中的分布问题”（见王梓坤《概率论基础及其应用》P12-13 科学出版社）就说明了这一情况，这是一个典型概型的问题，内容是：设有 r 个球，每个都能以相同概率 1/n 落到 n 个盒子（n>=r）的每一个盒子中，求指定的某 r 个盒子中各有一个球的概率。如果我们把 r 各球视作 r 个人，而把 n 个盒子视为一年的天数：n=365.这时上述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型。此问题是求参加某次集会的几个人中，没有 n 个人生日相同的概率。众所周知，关于球彼此间可以认为是有区别，也可以认为无区别；一个盒子可以假定仅能容纳一个球，也可以允许它能容纳许多球，如此一来，就可以分为以下几种概型：（1）马克斯威尔－波尔茨曼认为球彼此之间有区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（2）玻色－爱因斯坦认为球彼此不能区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（3）费密－狄雷克认为球彼此无区别，且限制每盒中不能同时容纳二个球。后来，为了统一以上三种情况，又产生了第四种情况（4）布里龙认为球彼此可以区别，且增加了一些其他条件限制（见杨宗磐《概率论入门》 P.13 科学出版社）以上四种情况，形成了统计物理学中的四种统计：球可看作为质点，盒子看作状态。再看一例：n 个人围成一个圆周，求其中甲、乙两人之间恰有 r(<n-2)个人的概率。（圆周排列时，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）对此问题，至少可找到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验：（1） n 个人的任意一种排列作为一个基本事件；（2）仅以甲、乙两人在 n 个人一行中的不同排法作为基本事件组；（3）可由甲与乙之间的间隔数来考虑。不论取何种概型，本题的求概率均为 1/(n-1). 2．事件间的关系 (1). 由 A− B = C 推不出 A = BC 事实上，令 A={1,2,3,4},B={1,3,5},于是 C=A-B={2,4},而 B C = {1,2,3,4,5}  A

4．由概率关系推不出事件间关系概率中有这样的性质：若事件 A,B 有关系 A  B , 则其相应的概率关系是 P(A)  P(B) ,反之却不真。例如：设 P(A)=0.1,P(B)=0.2, P(A  B) = 0.2 , 此时 A  B 不成立，事实上，由 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) 得出 P(AB)=0.1. 于是 P(A − AB) = P(A) − P(AB) = 0 由问题 3，这意味着可有 A − AB   ,从而未必有 A  B 。 5．试验次数多概率就一定大吗在概率论的萌芽时期，有一个著名的(Chevalier de Were)问题：一颗骰子掷 4 次至少得一个 1 点，与两颗骰子掷 24 次至少得两个 1 点，这两个事件究竟哪个概率大？曾引起很多人的注意。现在看来，利用独立试验概型容易求出它们的概率。 n 次独立重复试验中事件 A 至少发生一次的概率为 n 1− (1− p) ，其中 p = P(A) ，现考虑欲使 2 1 1− (1− )  n p ，则 lg(1 ) lg 2 p n −  − ，此式给出了 n 的下界，使问题得以解决。以掷一颗骰子作试验，要连续掷 n 次使 1 点至少出现一次的概率大于等于 1/2, 则 n  3.8.以掷两颗骰子作试验，要连续掷 n 次使两个 1 点至少出现一次的概率大于等于 1/2,则 n  24.6.由此得出，一颗骰子掷 4 次至少有一个 1 点的概率大于等于 1/2,而两颗骰子掷 24 次至少有一次得两个 1 点的概率小于 1/2. 本例说明试验次数很多，但概率不一定大。 6．概率与抽样方式是否有关一般，所求事件的概率与抽样方式有关，常见的有放回抽样与不放回抽样两种。前者指同一个体可被重复抽取，后者指已被抽取的个体不再参与下一此抽样，每一个体至多被抽到一次。例如有 n 件产品，其中有 m 件次品，现随机抽取 l 件产品。求其中恰有 k 件次品的概率。在抽样方式未定的情况下，此概率是不唯一的，事实上：若取放回抽样，所求概率 k k l k l n m n m p C − = ( ) (1− ) 1 （1）

若取不放回抽样所求概率 l n l k n m k m C C C p − − 2 = （2）显然 p1  p2 k = 0,1,2,  ,min( m,l) （1），（2）分别称为二项分布与超几何分布。当 n → 时 (2) → (1) 即二项分布是超几何分布的极限分布。由此得出如下结论：对于样本点个数较小的总体，在放回抽样与不放回抽样的场合，事件的概率会有较大的差别。当总体中样本点个数很大，样本容量不大时，这两种抽样方式对所求事件的概率实际上影响不大。 7．事件概率与试验的先后次序是否有关设有一口袋，内有 a 只黑球，b 只白球，他们除颜色不同外没有其它不同之处，现把球一只只地摸出，求第 k 次摸出的是黑球的概率 (1  k  a + b) . 初看题目，很可能会认为所求概率与摸球次序有关，若那样的话，体育比赛中先后抽签者中签的机会就不均等了，这与我们日常生活中的经验不符，通过具体计算亦可看出所求概率与摸球次序无关。按自然顺序给球编号，不妨先给黑球编号，再给白球编号，取样空间为第 k 次摸出的球的全部可能的结果，则 { , , , }  = 1 2  a+b  i 表示第 k 次摸出第 I 号球， i = 1,2,  ,a + b ，于是要求的是事件 { , , , } A = 1 2  a 的概率。由古典概率 a b a P A + ( ) = ，P(A)显然与 k 有关。本题可用多种方法求解，这里介绍的是最简单的一种，本题存在多种解法的原因，在于一个随机现象有时可用不同的样本空间来描述，所以称本解法是最简单的，因为解法中的样本空间是最小的。第二章随机变量及其分布 1．离散型分布的最可能值是否唯一离散型分布的最可能值指的是该随机变量取值中那些使概率达到最大的值，即若任意一个离散型分布             n n p p p x x x 1 2 1 2 ，若 sup( , , , , ) pk = p1 p2  pn  ，则称 k x 为此分布的最可能值。一般离散型分布的最可能值不唯一，比如：二项分布 B（n,p）中，当 (n 1) p . + 为

的随机变量不是取有限个或可列多个值，故 F(x) 不是离散型的分布函数，又 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 0 ' = = =      −  − f x dx F x dx dx 故 F(x) 也不是连续的分布函数。 4．具有无记忆性的离散型分布是否存在设随机变量 X 服从某个分布，若它满足 P(X  s + t | X  s) = P(X  t) 则称概分布具有无记忆性。对于连续型分布来说，指数分布是唯一的具有无记忆性的。（证明可见复旦大学《概率论》人们教育出版社 P.125-126）在可靠性问题中，把 X 理解为某元件的寿命，则无记忆性表示某元件的寿命如果已知大于 5 年，则其寿命再延长七年的概率与年令无关。具有无记忆性的离散型分布也是存在且唯一的，那就是几何分布 P(X = k) = p(1− p) k−1 , k =1,2,  几何分布是一种等待分布，例如,在事件 A 发生的概率为 p 的贝努里试验之中，A 首次出现时的等待次数 X 的分布为几何分布。 5．不几乎相等的随机变量是否有相同的分布若两个随机变量 X,,Y 满足 P(X  Y) = 0 ,则称 X 与 Y 几乎相等。可以证明：几乎相等的随机变量具有相同的分布，反之都不成立。例如，设 X 与 Y 具有相同的分布        − 2 1 2 1 1 1 并设 X 与 Y 相互独立，据此可算得 1 2 1 P(X = Y) =  ，从而 0 2 1 P(X  Y) =  ，即 X 与 Y 不几乎相等。所以不几乎相等得随机变量可以有相同的分布。 6．联合分布与其边缘分布未必是同类型分布我们知道二维正态分布的边缘分布仍为正态分布，多项分布的边缘分布亦为多项分布。那么联合分布与边缘分布是否都是为同类型分布呢？答案是否定的。例如二维均匀分布的边缘分布可以仍是均匀分布，也可以不是均匀分布。边与坐标轴平行的矩形域上的二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布，而圆域上的二维均匀分布的边缘分布不再是均匀分布。 7．边缘分布不能决定联合分布