实变函数 第四节微分与不定积分 4.5绝对连续函数 本讲目的:掌握绝对连续函数的定义, 熟悉绝对连续函数的基本性质。熟练掌 握 Newton- Leibniz公式成立的充要条件。 重点与难点: Newton-Leibniz公式的 证明
4.5 绝对连续函数 本讲目的：掌握绝对连续函数的定义，， 熟悉绝对连续函数的基本性质。熟练掌 握Newton-Leibniz公式成立的充要条件。 重点与难点： Newton-Leibniz公式的 证明。 第四节 微分与不定积分
第五节绝对连续函数 绝对连续函数的定义 现在回到我们最初的问题上来: 牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立?
第五节 绝对连续函数 一.绝对连续函数的定义 现在回到我们最初的问题上来： 牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？
第五节绝对连续函数 从单调函数的例子及上面的讨论不难看到, 有界变差函数的导数虽然可积,但也未必能使 牛顿一莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强, 这正是下面要引入的 定义8设f是a,b]上的函数,若对任意E>0 存在,δ>0使得对于[a,b]中的任意一组分点: a1<b,<a<b<.<a.<b 只要∑(-a)<6,便有 ∑|f(b)-f(a1)kE, 则称f是[a,b]上的绝对连续函数,或称f在[a,b] 上绝对连续
第五节 绝对连续函数 从单调函数的例子及上面的讨论不难看到， 有界变差函数的导数虽然可积，但也未必能使 牛顿—莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强， 这正是下面要引入的 定义8 设f是[a,b]上的函数，若对任意 ， 存在， 使得对于[a,b]中的任意一组分点： ， 只要 ，便有 ， 则称f是[a,b]上的绝对连续函数，或称f在[a,b] 上绝对连续。 0 0 a b a b an bn ... 1 1 2 2 = − n i i i b a 1 ( ) = − n i i i f b f a 1 | ( ) ( ) |
第五节绝对连续函数 二牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件 从定义立知,[ab]上的绝对连续函数一定是一致连 续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢? 假设∫是ab上的绝对连续函数,于是对任意g>0 存在O>0使得只要∑(b-a)<6 就有∑f(b)-f(a)|<E 取正整数N,使得 将分成N等分,设分点为a=1<n1<…<yN=b
第五节 绝对连续函数 二.牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件 从定义立知, [a,b]上的绝对连续函数一定是一致连 续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？ 假设 是[a,b]上的绝对连续函数，于是对任意 ， 存在 ，使得只要 ， 就有 ， 取正整数N，使得 ， 将分成N等分，设分点为 f 0 0 = − n i i i b a 1 ( ) − = n i i i f b f a 1 | ( ) ( )| − N b a a = y0 y1 yN = b
第五节绝对连续函数 对ab]的任一分划△:a=x<x不…<=b将(}N添 加进去,得新的分划△a=x0<<…m=b(m≤n+N),于是 V(△,)≤K(△,f)=∑|()f(x)∑∑|f(x)-f(1)NE 因此,V(0)≤NE<+。这就是说连续函数一定是 有界变差函数。下面的定理指出:对绝对连续函数, 牛顿一莱布尼兹公式是成立的
第五节 绝对连续函数 对[a,b]的任一分划 添 加进去，得新的分划 ，于是 0 0 1 : , { } = = = k a x x xn b 将 yk N ( ) ~ ~ ~ : ~ a = x0 x1 xm = b m n + N V f V f f x f x f x f x N i i y x x y m j i i m i j i i i = − = − − = − = − − )| ~ ) ( ~ )| | ( ~ ) ( ~ , ) | ( ~ ( , ) ( 1 ~ ~ 1 1 1 1 1 因此， 。这就是说,连续函数一定是 有界变差函数。下面的定理指出：对绝对连续函数， 牛顿—莱布尼兹公式是成立的。 V f N + b a ( )
第五节绝对连续函数 定理9设f(x)是[a,b上的绝对连续函数, 则f(x)在a,b]上几乎处处可微, f(x)在a,b上 Lebesgue可积,且 f()dx= f(b)-f(a Ta, bI 证明:由上面的讨论,显然仅需证明等式 f(x)x=f(b)-f(a)成立
第五节 绝对连续函数 定理9 设 上的绝对连续函数， 则 上几乎处处可微, 上Lebesgue可积，且 f (x)是[a,b] f (x)在[a,b] f '(x)在[a,b] = − [ , ] '( ) ( ) ( ) a b f x dx f b f a 证明：由上面的讨论，显然仅需证明等式 = − [ , ] '( ) ( ) ( ) a b f x dx f b f a 成立
第五节绝对连续函数 对于x>b,令f(x)≡f(b),记 f(x+-)-f(x) P,(x) =川[(x)+-)-f(x)] 1 则9n是[an,b]上的可积函数,且 lim (x)=f'(x)a.[a, b1 n→)0
第五节 绝对连续函数 对于 x b,令f (x) f (b),记 ) ( )], 1 [ ( ) 1 ) ( ) 1 ( ( ) f x n n f x n f x n f x x n = + − + − 则 n 是[a,b] 上的可积函数，且 lim (x) f '(x) a.e.[a,b]. n n = →
第五节绝对连续函数 往证{n}是ab]上积分等度绝对连续的函数序列。在取 E>0存在δ>0使得定义8中的不等式成立 (a12b)=1,2,…是[a,b]内一列互不相交的区间使 得∑(b-a)<8,则对任意正整数m,有 ∑(h-a1)<
第五节 绝对连续函数 往证 上积分等度绝对连续的函数序列。任取 使得定义8中的不等式成立。设 内一列互不相交的区间,使 得 , 则对任意正整数 , 有 { } [a,b] n 是 = − 1 ( ) i i i b a (a ,b ),i 1,2, , [a,b] i i = 是 0,存在 0 = − m i bi ai 1 ( ) m
第五节绝对连续函数 从而对任意x∈[a,b有 ∑[(x+b)-f(x+)∑f(x+b)-f(x+a)if(x+)-f(x)]ds n f(x)dx f(xdx] b,b,+ (a;,a;+
第五节 绝对连续函数 从而对任意 x[a,b ， ] 有 + − + + − + = = m i i i m i i i f x b f x a f x b f x a 1 1 | [ ( ) ( )]| | ( ) ( )| 进而 | [ ( ) ( ) ]| ) ( )] | 1 | ( ) | | [ ( 1 ) 1 ) ( , 1 ( , 1 ( , ) 1 = + + = = − = + − = m i n a a n b b m i a b n i i i i m i i i n f x dx f x dx f x dx n x dx n f x
第五节绝对连续函数 「。,1∑[f(b+x)-f(a1+x)x (0 ≤n。,∑[f(+x)-f(a+x)|x<E n=1,2,3, 由积分的绝对连续性易知 Ja,,)9,(xdxksc n=1,2,3
第五节 绝对连续函数 + − + = + − + = = ) 1 (0, 1 1 ) 1 (0, | [ ( ) ( )]| | | [ ( ) ( )] | n i i m i i i m n i n f b x f a x dx n f b x f a x dx n =1,2,3, 由积分的绝对连续性易知 ， = | ( ) | 1 ( , ) i ai bi n x dx n =1,2,3,