实变函数 序言 实变函数简介
实变函数简介 序言
微积分基本定理 导数(切线斜率) ●若(x)在[ab]上连续,则 (R),f()dm)=f(x) 定积分(面积) ●若F(x)在[ab]上连续,则 (R) F'(tdt=F(x)-f(a
微积分基本定理 ((R) f (t)dt) f (x) dx d x a = ⚫若f(x)在[a,b]上连续，则 (R) F'(t)dt F(x) F(a) x a = − ⚫若F `(x) 在[a,b]上连续，则 导数（切线斜率） xi-1 xi 定积分（面积）
微积分发展的三个阶段 创立(17世纪): Newton(力学) Leibniz(几何) (无穷小) 严格化(19世纪): Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(eN6语言),实数理论) 外微分形式(20世纪初): Grassmann, Poincare Cartan (微积分基本定理如何在高维空间得到体现)
微积分发展的三个阶段 创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小) 严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论) 外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
微积分继续发展的三个方向 ●外微分形式(整体微分几何) (微积分基本定理如何在高维空间得到体现) ●复数域上的微积分(复变函数) ●微积分的深化和拓展(实变函数)
微积分继续发展的三个方向 ⚫外微分形式 (整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现） ⚫复数域上的微积分（复变函数） ⚫微积分的深化和拓展（实变函数）
1 Riemann积分回顾 (1) Rieman积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义(非负函数 函数图象下方图形的面积 其中Ax=x=x b x1≤5≤x (R)I f(x)dx=lim T|->0 ∑f(51)△x
1.Riemann积分回顾 (1) Riemann积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi i n i i T b a R f x dx = f x = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) 其中 i i i i i i x x x x x = − − − 1 1
(2) Rieman可积的充要条件 f(x)在[a,b上 Riemann可积 F=(x)kx=加mn∑MAx=m,∑mA=(xk 其中:【M=s甲p/(x)x≤x≤x} m=nf(x)x≤x≤x}
(2) Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 i n i i T b a f x dx = M x = → 1 || || 0 ( ) lim m x f x dx b a i n i i T lim ( ) 1 || || 0 = = = → inf{ ( ): } sup{ ( ): } 1 1 i i i i i i m f x x x x M f x x x x = = − 其中： − xi-1 xi xi-1 xi
(2) Rieman可积的充要条件 其中: M=Sup{(x):x1≤x≤x} m2=nf1f(x):x1≤x≤x f(x)在[a,b]上 Riemann可积 vE>03分划,使得∑Ar≤E
(2) Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 = i n i i T x 1 0, 分划 ，使得 i i i i i i i i i M m m f x x x x M f x x x x = − = = − − inf{ ( ): } sup{ ( ): } 1 1 其中： xi-1 xi
2) Riemann可积的充要条件 ∑0Ax=∑△x+∑O△x Q127 O10,3分划7,使得所有振幅a≥n 的小区间△的总长度不超过a
(2) Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 注：连续函数、 只有有限个间 断点的有界函 数和闭区间上 的单调函数 Riemann可积 的小区间 的总长度不超过 ， 分划 ，使得所有振幅 i T i 0, i i i i i n i i x x x i i = + = 1 其中([a,b], f )为f在[a,b]上的振幅 i i a b f x x i i + ([ , ], ) xi-1 xi ([a,b], f ) +(b − a)
例: Dirichlet函数不 Riemann可积 D(x)={0 x[0,1Q x∈[0,1Q 上积分(x)=m∑MAx2=1 i=1 下积分八(x)=m2mAx=0注:Dx)的下方图形 i=1 可看成由[0,1中每个 有理点长出的单位线 段组成 下分划7,有∑OAx1=1 =1
例：Dirichlet函数不Riemann可积。 注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线 段组成。 1 1 = = i n i i 分划T，有 x ( ) lim 1 1 || || 0 = = = → i n i i T b a 上积分 f x dx M x ( ) lim 0 1 || || 0 = = = → i n i i T b a 下积分 f x dx m x x Q x Q D x = − 1 [0,1] 0 [0,1] ( ) 0 1
(3) Riemann积分的局限性 a微积分基本定理 定理:若f()在[ab]上可微且f(x)在a,b]上 Riemann连续,则[rx f(tdt=f(x)-f(a 881年 Volterra作出一可微函数,导函数有界但不 Riemann可积 注:推荐大家看看龚升写的 ●《话说微积分》,《简明微积分》 数学历史的启示(《数学教学》,2001.1) ●微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3)
（3)Riemann积分的局限性 ' ( ) ( ) ( ) x a f t dt f x f a = − a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上 Riemann 连续,则 注：推荐大家看看龚升写的 ⚫《话说微积分》， 《简明微积分》, ⚫数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, ⚫微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3） • 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；