湖南商学院：《概率论》课程教学资源（PPT课件）第三章 随机向量及分布（3.2）二维离散型随机向量

第三章第二节 二维离散型随机向量 如果二维随机向量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机向量 二维离散型随机向量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个

第三章 第二节 二维离散型随机向量 如果二维随机向量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机向量. 二维离散型随机向量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个

随机变量(X,P 维随机变量X 离散型 联合分布 离散型 X和Y的联合概率分布X的概率分布 P(X=Xk=Pk P(X=,Y=y)=Pi k=1,2, Pk≥0,k=1,2 Pi≥0,i,j=1,2 =1 ∑∑

二维随机变量（X,Y） 联合分布 离散型 ( , ) , i j i j P X=x Y = y =p i, j =1,2, …     =  =  i j i j i j p p i j 1 0, , 1,2, X和Y 的联合概率分布 ( ) , k k P X=x =p k=1,2, … 离散型 一维随机变量X  0, pk  = k k p 1 k=1,2, … X的概率分布   

率分布也可以用表格表示 表3.2.1 y yj P p12 P

Y X y1 y2  yj  x1 P11 p12  P1j  x2 P21 P22  P2j  ┇ ┇ ┇ ┇ xi Pi1 Pi2  Pij  ┇ ┇ ┇ ┇ 概率分布也可以用表格表示. 表3.2.1

分布律与二维分布函数 设二维离散型随机向量(X,Y的分布律为 p 于是(X,Y)的分布函数 F(, D)=P(X Sx,YSy)=P Ur=x, Y=y,) F(x,y)=∑∑P{x=x,y=y ≤xy≤y x1≤xysy

(II) 二维分布律与二维分布函数 设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为 pij i=1,2,  ; j=1,2,  . 于是 (X,Y)的分布函数           =   = = =    x x y y i j i j F x y P X x Y y P X x Y y , ( , ) { , } ,           =  = = = x x y y i j x x y y i j i j i j p F(x, y) P X x ,Y y

8 2. F(

    = x x y y i j i j F(x, y) p

吵r设有10件产品,其中7件正品,3件队m 现从中任取两次,每次取一件产品,取后不放回 令 X=1:若第一次取到的产品是次品 X=0:若第一次取到的产品是正品 Y=1:若第二次取到的产品是次品 Y=0:若第二次取到的产品是正品 求:二维随机向量(X,Y)的概率分布 解:(X,y)所有可能取的值是 (0,0),(0,1),(1,0,),(1,1)

解: 例 1 设有10件产品,其中7件正品,3件次品. 现从中任取两次,每次取一件产品,取后不放回. 令: X=1： 若第一次取到的产品是次品. X=0： 若第一次取到的产品是正品. Y=1： 若第二次取到的产品是次品. Y=0： 若第二次取到的产品是正品. 求: 二维随机向量(X,Y)的概率分布. (X,Y)所有可能取的值是 (0,0),(0,1),(1,0,),(1,1)

(x=0,=0 P{第一次取到正品且第二次也取到正品}, 利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(7×6)/(10×9)=7/15 同理求得: P{X=0,Y=1}=(7×3)/(10×9)=7/30 P{X=1,Y=0}=(3×7)/(10×9)=7/30 P{X=1,Y=1}=(3×2)/(10×9)=1/15 Y 0 7/15 7/30 7/30 1/15

P{X=0,Y=0} =P{第一次取到正品且第二次也取到正品}, 利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15 同理求得: P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30 P{X=1,Y=0}=(37)/(109)=7/30 P{X=1,Y=1}=(32)/(109)=1/15 Y X 0 1 0 7/15 7/30 1 7/30 1/15

为了进行吸烟与肺癌关系的 随机调查了23000个40岁以上的人,其结果 列在下表之中 是否患肺痼 患 是否吸烟 未患 吸烟 3 4597 不吸烟 18399 Ⅹ=1若被调查者不吸烟, Ⅹ=0若被调查者吸烟, Y=1若被调査者未患肺癌, Y=0若被调查者患肺癌

例 2 为了进行吸烟与肺癌关系的研究， 随机调查了23000个40岁以上的人，其结果 列在下表之中. 是否患肺癌 是否吸烟 患 未患 吸 烟 3 4597 不吸烟 1 18399 X=1 若被调查者不吸烟, X=0 若被调查者吸烟, Y=1 若被调查者未患肺癌, Y=0 若被调查者患肺癌

中的每一种情况出现的次数计山 它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的 概率分布 P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013, P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004, P{X=0,y=1}≈4597/23000=0.19987, P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996 Y 0 0000130.19987 0.000040.79996

令:从表中的每一种情况出现的次数计算出 它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的 概率分布: P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013, P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004, P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987, P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996. Y X 0 1 0 0.00013 0.19987 1 0.00004 0.79996

这一讲,介绍了二维离散 型随机向量及其概率分布

这一讲,介绍了二维离散 型随机向量及其概率分布