§1.2一元多项式的定义和运算
§1.2 一元多项式的定义和运算
多项式的概念 中学多项式的定义:n个单项式(不含加法或减 法运算的整式)的代数和叫多项式。 例: 4a+3b,3x+2x+\,n y 在多项式中,每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。 后来又把多项式定义为R上的函数: f(x)= 十a1X+…+ax 但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代。 第一章多项式
第一章 多项式 一、多项式的概念 中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减 法运算的整式）的代数和叫多项式。 例： 4a+3b， 2 3 2 1, x x + + 3 1 . 2 5 y − 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。 后来又把多项式定义为R上的函数： ( ) 0 1 n n f x a a x a x = + + + 但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代
回题:1、高等代数中采用什么观点定义多项式? 2、多项式的形式观点与多项式的函数观点 常数项或矛盾? 首项 定零次项个文字( 首项系数an≠0 整数 形:表达式 an+a1X+…+a1x"=)a,x (2.1) i=0 其中a0,a1…,an∈F,称为数域F上的一元多项式 a1称为次项系数。 第一章多项式
第一章 多项式 问题：1、高等代数中采用什么观点定义多项式？ 2、多项式的形式观点与多项式的函数观点 是否矛盾？ 定义1：设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数 形式表达式 0 1 0 n n i n i i a a x a x a x = + + + = —（2.1） 其中 0 1 , , , n a a a F ，称为数域F上的一元多项式。 常数项或 零次项 首项 an 首项系数 0 n a i a 称为i次项系数
高等代数中采用形式观点定义多项式,它在两方 面推广了中学的多项式定义: 1.这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2.系数可以是任意数域。 例121:f(x)=1-2x+3x2+9x3是Q上多项式; f(x)=3+V2x+x2是R上多项式; f(x)=3+x+5x2是C上多项式 ar-3x3+3x+2 都不是多项式 x+1 第一章多项式
第一章 多项式 高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方 面推广了中学的多项式定义： 1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2. 系数可以是任意数域。 例1.2.1： ( ) 2 3 f x x x x = − + + 1 2 3 9 是Q上多项式； ( ) 2 f x x x = + + 3 2 是R上多项式； ( ) 2 f x ix x = + + 3 5 是C上多项式。 3 2 3 1 3 2 , , 1 x x x ax x x − + + − + 都不是多项式
定义2:f(x)(x)是两个多项式, x)=8 最高次项 亦称为首项。 除系数为0的项 系数都相等。 多项式的表法唯 方程a0+ax+…+anx”=0是一个条件等式而不是 两个多项式相等 定义3:设∫(x)=a+a1x+…+anx,an≠0 非负整数n称为f(x)的次数,记为: ((x)=n 第一章多项式
第一章 多项式 定义2： f x g x ( ), ( ) 是两个多项式， f x g x ( ) = ( ) 除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。 方程 0 1 0 n n a a x a x + + + = 是一个条件等式而不是 两个多项式相等。 定义3： 设 ( ) 0 1 , 0, n n n f x a a x a x a = + + + 非负整数n称为 f x( ) 的次数，记为： = ( f x n ( )) . 最高次项， 亦称为首项
例122:f(x)=3x2+2x+1,((x)=2 ∫(x)=3,O((x)=0 零次多项式:次数为0的多项式即非零常数。 零多项式:系数全为0的多项式。对零多项式不 定义次数,因此,在谈论多项式的次数时,意味着这 个多项式不是零多项式 首一多项式:首项系数为1的多项式。 多项式的运算 定义4:设∫( x=a1+a1x+…+ax g(x)=b+bx+…+bnx是数域F上次数分别 第一章多项式
第一章 多项式 例1.2.2： ( ) ( ( )) 2 f x x x f x = + + = 3 2 1, 2, f x f x ( ) = = 3, 0 ( ( )) 零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。 零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不 个多项式不是零多项式。 首一多项式：首项系数为1的多项式。 二、多项式的运算 定义4： 设 ( ) 0 1 n n f x a a x a x = + + + ( ) 0 1 m m g x b b x b x = + + + 是数域F上次数分别 定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这
为n和m的两个多项式(m≤n), 则f(x)与g(x)的和f(x)+8(x)为: (a+b)+(a4+b)x+…+(an+bn)xm+…+(an+b)x ∑(a+b)x。当mn时,取bn1=…=bn=0。 f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)=∑(an-b)x 定义5:设f(x,g(x)如上,f(x)与g(x)的积为 (x)·g(x)=c+cx+…+C n+m X n+m 第一章多项式
第一章 多项式 为n和m的两个多项式 (m n ) ， 则 f x( ) 与 g x( ) 的和 f x g x ( ) + ( ) 为： ( 0 0 1 1 ) ( ) ( ) ( ) m n m m n n a b a b x a b x a b x + + + + + + + + + ( ) 0 n i i i i a b x = = + 。当m<n时，取 b b m n +1 = = = 0 。 f x g x f x g x ( ) − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n i i i i a b x = = − 定义5：设 f x g x ( ), ( ) 如上， f x( ) 与 g x( ) 的积为 ( ) ( ) 0 1 n m n m f x g x c c x c x + + = + + +
其中 b2+ab1+…+ak-b+ab=∑ k k=0.1..n+m 把/(x),g(x)中两个系数下标之和为k的对应项 相乘积的和作为x的系数。得: (x)9(x)=∑∑ k=0(i+j=k 例123:设f(x)=3x2+4x+5,g(x)=x3+2x2+x+1 f(x)+g(x)=x3+5x2+5x+6 f(x)·g(x)=3x3+(4+6)x+(5+8+3)x3 +(10+4+3)x2+(5+4)x+5 第一章多项式
第一章 多项式0 1 1 1 1 0 , k k k k k i j i j k c a b a b a b a b a b − − + = = + + + + = ( ) ( ) 0 n m k i j k i j k f x g x a b x + = + = = 例1.2.3：设 ( ) ( ) 2 3 2 f x x x g x x x x = + + = + + + 3 4 5, 2 1 ( ) ( ) 3 2 f x g x x x x + = + + + 5 5 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 3 4 6 5 8 3 10 4 3 5 4 5 f x g x x x x x x = + + + + + + + + + + + 其中 k n m = + 0,1, , . 相乘积的和作为 k x 的系数。得： 把 f x g x ( ), ( ) 中两个系数下标之和为k的对应项
多项式的运算(加、减、乘)满足以下运算规律 加法交换律:f(x)+g(x)=8(x)+f(x) 加法结合律:[f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x) 乘法交换律:f(x):(x)=g(x)f(x) 乘法结合律:[f(x)g(x)h(x)=f(x)[g(x)h(x) 乘法对加法的分配律: f(x)g(x)+h(x)=f()g(x)+f(xh(x) 第一章多项式
第一章 多项式 多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律： 加法交换律： f x g x g x f x ( ) + = + ( ) ( ) ( ) 加法结合律： f x g x h x f x g x h x ( ) + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 乘法交换律： f x g x g x f x ( ) = ( ) ( ) ( ) 乘法结合律： f x g x h x f x g x h x ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 乘法对加法的分配律： f x g x h x f x g x f x h x ( ) ( ) + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
下面证明多项式乘法满足结合律 证:设f(x)=∑ax,g(x)=∑bx2,h(x)=∑c2x i=0 现证((x)(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x) 这只要比较两边同次项(比如t次项系数)相等即可。 左边f(x)g(x)中S次项的系数是:∑ab 1+J=s 左边((x)g(x)(x)t次项的系数是 ∑|∑ ∑ k+s=t计+j=s +k=t 右边g(x)h(x)中次项的系数是:∑ 第一章多项式
第一章 多项式 下面证明多项式乘法满足结合律。 证：设 ( ) ( ) ( ) 3 0 0 0 , , n m l i k i j k i j k f x a x g x b x h x c x = = = = = = 现证 ( f x g x h x f x g x h x ( ) ( )) ( ) = ( )( ( ) ( )) 这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。 左边 f x g x ( ) ( ) 中S次项的系数是： i j i j s a b + = 左边 ( f x g x h x ( ) ( )) ( ) t次项的系数是： i j k i j k k s t i j s i j k t a b c a b c + = + = + + = = 右边 g x h x ( ) ( ) 中r次项的系数是： j k j k r b c + =