目录 序 编者的话 第0章集合与映射 第一章点集拓扑 ………5 1.1拓扑空间 1.1.1拓扑开集闭集 1.1.2邻域闭包内部边界…………………………1l 1.1.3子空间…………………………………………… 1.1.4基子基局部基 參12连续映射……………… ……………-18 1.2.1连续映射………………… 122同胚拓扑性质……………………………………………21 123积空间……………………………………………………2 124商空间…………… 1.25·收敛性 甲中,看·, 81.3可数性分离性 么甲 131可数性…… 132分离性…… 1.3.3 Urysohn引理和 Tietze扩张定理…………………42 §14紧性 1.4.1紧空间……………………………… ………47 14.2可数紧空间序列紧空间聚点紧空间… 143局部紧性单点紧化………………………………67
目录 §.5连通性…… 15.1连通空间和局部连通空间… 152道路连通空间和局部道路连通空间 §1.6点集拓扑的进一步概念… k甲.n省,甲着甲,p,谁 ………67 16.L度量化定理…………………………………67 1.62单位分解… ……71 16.3流形…… 1.6圣仿紧空间 a,、,,,,,,, 16.5函数空间… 74 第二章基本群和覆盖空间…… …………89 82.工同伧……………………………… 2工1映射的同伧……………………… 21.2同伦等价………………………………… 822葚本群………………………… 221道路类及其乘法… 222基本群及其性质………………………………103 §2.3基本群的计算……………………………108 2.3.1圆周的基本群…………………108 23.2计算基本群的方法………………………14 24覆盖空间的概念及其基本性质……………17 2生1覆盖空间的定义与例子…………………,17 24.2覆盖空间的基本性质………………1 825映射提升定理 82.6爱盖空间的分类定理… ……………130 261覆盖空间的示性类………… ………131 2.6.2分类定理………………,……… 132 2.6.3覆盖空间的存在性…………35 §2.7万有覆盖空间… 139 第三章单纯同调论 ………………………155 831单纯复形与多面体…………………… 155 31.单纯复形……… 156
目录 3.1.2多面体与可剖空间… 158 3.1.3复形的定向 …………………………161 3.1.4·抽象单纯复形 ………62 832单纯复形的同调群………………………………164 3.2.1链群与边缘同态…………………………………………165 322同调群的定义 ………68 323复形的连通性与零维同调群的结构 ……t70 3.24计算同调群的进一步例子………………………………171 §3.3 LEuler-Poincar公式…………… “、,午q.Bs4甲甲,.甲 331盛同调群的结构……… ·丶4.., 176 332 Euler-Poincare公式…………………………177 333以任意Abel群作系数群的同调群………………180 §34单纯映射与单纯逼近……… 341单纯映射及其诱导间态…… 184 342单纯逼近………………………………188 §35单纯逼近定理和连续映射的诱导同态………… 192 35.1重心重分和单纯遥近定理 ……19 3.5.2重分链映射与连续映射的诱导同态………………196 353同调群的伦型不变性…………… 甲中·:甲中中 198 3.6伪流形 §37球面上的映射与不动点定理…… ………………203 3.71拓扑度…………………………………………204 372球面的向量场……………… 208 3.73 Borsuk-Uam定理……………………………210 374 brouwer不动点定理……………114 3.75 Lefschetz不动点定理………………………………215 §38局部同调群与维数不变性……….:2 381局部同调群…………………………… 382维数不变性… 224 §3.9棱道群,m(K与H1(K)的关系…… …225 第四章代数拓扑学中若干其他论题………………………241 8±1相对同调群与同调序列……… 241
自录 生.11相对同调群 241 生.1.2切除定理…… 244 4.13同碉序列……… 84.8上同惆群与上同调环 ………………248 4.2,I上同调群……………………………………249 垩2.2上同调环……………………… ……………251 1±3奇异同调论……………………………………254 431奇异同调群… .32 Mayer- Vietoris序列……………159 844同伦群 ●,·非,曲、甲 、,、 262 44.1定义和简单性质………………… 2 442同伦群的交替描述及其进一步的性质…………263 ±.4.3同伦论中几个著名的结果…………………26 生5范畴与函子同啁论的公理…………………………270 生.51范畴与函子 70 4.52同调论的公理 ………………………273 附录AAbl群与非Abe群……………………………………………275 附录 B Van Kampen定理 附录 Jordan曲线定理…………………………………… 295 附录D紧曲面的拓扑分类……………………………………303 附录同调群的拓扑不变性 ,:甲;.;a甲ats+pasa 316 符号一览表…………………………………… 参考书目……………………………………………327 素引………………………………… ●,.、“p;s上甲
第0章集合与映射 在这里我们给出本书要用到的关于集合与映射的一些基本概 念与结论,其证明留綸读者,关于集合、子集、集合的并与交等概 念假定读者已熟悉,所用符号是流行的 整数集、有理数集实数集与复数集分别记为z、QR与C正 整数集正有理数集与正实数集分别记为Z+、Q4与R 1. De Morgan公式 定义设,={A∈A是以A为指标集的一族集合, 中集合的并集是集合{∈Aλ∈,记为U{AA∈A},或 k∈aA,m中集合的交集是集合{x∈AVA∈4},记为∩{Ax A∈A},或∩eA 命题( De morgan公式)设{A1∈是集合Ⅹ的一族 子集,则有 ∈A nea(x\any x\∩eAAx={ke(x\A) 2.笛氏积 定义设Ⅹ,Y是集合,Ⅹ和Y的笛氏积是由所有有序偶 (a,y)组成的集合,∈,y∈Y,记为XxY,即 x×Y={(a,y)|∈x,Y} 个集合X1,x…ⅹ的笛氏积定义为 x1×…Xxn={( )∞∈x,1,…’,m 个实数集的笛氏积记为R
第0章集合与映射 8.等价关系 定义集合Ⅹ上的关系R是笛氏积XXx的一个子集,若 a,z)∈,记为m1Bm2 1)若对任意c∈X,有mB,则称B是自反的; (2)若对任意,y∈X,aBy蕴涵yB,则称B是对称的; (3)若对任意a,yz∈X,mBy和yB蕴涵4B,则称B是 传递的 自反、对称且传递的关系称为等价关系,等价关系常记为~ 设~是集合Ⅹ上的一个等价关系,m∈,集合{∈x y称为a所属的关于~的等价类,记为[a 命题设B是集合x上的一个等价关系,则{叫]∈X}构 成x的一个分割,即XmU{[叫]∈X且[m]∩[=或[a] [v],,y∈x 以x/~记Ⅹ关于~的等价类所成的集合,称为X关于 的商集合,即x/~={[a]l∈x} 4.映射 定义设X和Y是集合,∫是xY的子集.如果对每个 ∈x,存在唯一的y∈Y,使得(,y)∈则称∫是x到Y的 一个映射记作f:X→Y,()∈∫记作y=f(a).X称为∫的 定义域,F称为∫的值域,集合{(a)|∈星称为∫的象,记作 Im∫.当值域为数域时常称映射为函数 定义设∫:X一y是映射,ACx,Bc,集合 f(A)={f(a)|∈A} 称为A在∫下的象;集合 ∫-1(B)={|f(a)∈B 称为B在了下的原象 定义设∫:X→y是映射若ImfY则称∫是满射;若对 任意g∈Y,f(y)是空集或独点集,则称∫是单射;既单且满的
第0章集合与映射 映射称为双射或一一对应 命题设{A|∈4是x的一族子集{B1|∈M}是Y的 一族子集,厂X→Y是映射则 (1)f(264A2)c∩eaf(A) (2)f(UAEAA =UAeAf (A,); (3)∫1(AB2)=∩eAf1(B-); (4)f1(U∈AB2)=L6A∫1() 命題设∫:x→￥是映射,ACx,BCY,则 )f1(Y\B)=x1(B); (2)若∫是满射,则FVf(A)cf(\);若∫是单射,则 f(X\AcrV(A) (3)Acf1(f(A).当∫是单射时,A=f-1(∫A); (4)f(f1(B)CB.当∫是满射时,f((B))=B. 定义设∫:X→Y和9:y→是映射,f和g的复合映射 g:R→>z定义为gf(a)g(f(∞),c∈.9常简记为 定义设x是一个集合,1xX→x定义为1x(ac)=m,c∈ x,称为X上的恒同映射。设∫:X->是映射,Acx,映射 ∫4A→Y定义为∫A(a)-f(0),a∈A,称为∫在A上的制, ∫称为∫A在Ⅹ上的扩张.特别地,1x|4:A→>X称为包含映射, 也记为4A→>x 设~是集合X上的一个等价关系。映射昕:x→X/~定义 为听(c)一[]称为自然射影 利用映射可定义任意一族集合的笛氏积 定义设{XA∈4是一族集合,它们的笛氏秋是集合{f: A-LkAXλ∈A,f()∈X},记为IAx,其中元素∫常 记为(a)A或(ax),这里a=f() 显然,当A为有限集时,这样定义的笛氏积和前面2中定义 的笛氏积可建立自然的一一对应,囡此两种定义事实上是一致 的
第0章集合与映射 设p∈A,pI3∈Ax2→>x由p(m)2c)=n给出,称为 第风个射影 定义设X,H,2是集合,:->Y,9:Y->,AX-,团 是映射,如果gf=b2X→>Z,则称下面图表可交换: 类似地,如果下面图表中的映射满足9f=q:X→Z,则称此 图表可交换 X q
第一章点集拓扑 什么是拓扑学?通俗地说,当我们研究几何图形的各种性质 时,发现有一类性质,在图形被拉伸”、“扭曲”但不撕破和重迭的 过程中保持不变,不妨将图形想象为具有弹性的橡皮膜,在“ 伸”,“扭曲等变形过程中,原来不同的点仍变为不同的点(一一对 应),原来邻近的点仍变为邻近的点(连续变换),并且变形后邻近 的点是原来邻近的点的象(逆变换连续)这种变形称为“拓扑变 换”或“同胚”,能这样互相变换的图形称为“拓扑等价”的.例如, 圆周可以拓扑变换为长方形四条边组成的几何图形.将圆周切 断,打个结再粘接也是拓扑变换.然而圆周与“8”字形就不是拓 扑等价的.因为要将圆周变成“8”字形,必定将圆周上不同的两 点熔合为同一点 图1士 拓扑学就是研究图形在拓扑变换下不变性质的学科 拓扑学包括点集拓扑学、代数拓扑学等分支,点集拓扑学是 在(anx的集合论和3 rochet, Hansdorff等人工作的基础上发
第一章点集拓扑 展起来的.它起源]将集含论与函数空间的哪究结合起来的想法 点集拓扑学将几何图形看作是点的集合,而且具有某种“空间结 构”,即不是互不相关的一堆点,而是通过捆扎”使点与点之间发 生某种联系,于是导致拓扑空间的概念.在本章中,将给出拓扑空 间和连续映射的定义以及基本性质,研究在一个集合上给出拓扑 的各种方法,以及如上进一步限制的重要空间(如紧空间、连通空 间)的性质等等 点集拓扑学是数学的基础,它在微分方程、几何、概率论、函数 论与泛函分析中都有广泛的应用,其基本思想与处理方法对近代 数学产生深刻的影响 §1.1拓扑空间 1.1.1拓扑开集闭集 下面,我们将%维实欧氏空间记为R{(m,…,mn)4∈R 么=1,…。其中任意两点=(,…,与y-(,…,纠 的距离为 d(a, y)=(2(a-g) 它的基本性质可概括如下:对任意,y,z∈R,有 (D1)d(a,y)≥0,当且仅当c=时d(,g)=0, (D2)a(a,9)哪d(g, (Da)c(x,a)≤(如,y)+d(y,z) 维和2维欧氏空间分别称为实直线与欧氏平面 连续性是数学分析中的一个基本概念。在欧氏空间中,可以 利用距离来描述“邻近”的概念从而可用“8-8”方式来定义连续 性.由此很自然地可以将欧民空间的概念推广 11定义设x是一个集合如果映射以Ⅹx星→尽满足上 述性质(D2),(D2)利(D3),则称(x,d为度蚤空间,简记为x, d称为x上的度量,以(a,y)称为点a与?的距离