§1.3整除性理论
§1.3 整除性理论
多项式整除的概 多项式的整除性 设∫(x)g(x)∈F[,若存在h(x)∈F[x],使 f(x)=g(x)h(x),则说g(x)整除f(x),记为: 8(x)f() 否则就说g(x)不能整除∫(x),记为:g(x)f(x) 当g(x)/(x)时,g(x)称作f(x)的因式 f(x)称作8(x)的倍式 2.整除的基本性质 性质1:若h(x)(x)g(x)(x) 第一章多项式
第一章 多项式 一、多项式整除的概念 1. 多项式的整除性 设 f x g x F x ( ), ( ) ，若存在 h x F x ( ) ，使 f x g x h x ( ) = ( ) ( ) ，则说 g x( ) 整除 f x( ) ，记为： g x f x ( ) ( ) ，记为： g x f x ( ) ( ) 。 当 g x f x ( ) ( ) 时， g x( ) 称作 f x( ) 的因式， f x( ) 称作 g x( ) 的倍式。 2. 整除的基本性质 性质1： 否则就说 g x( ) 不能整除 f x( ) 若 h x g x g x f x ( ) ( ), ( ) ( )
则h(x)f(x)。(传递性) 证:∵h(x)g(x),g(x)(x) 彐m1(x),m2(x)∈F[x] 使g(x)=h(x)m1( f(x)=g()m2(x)=h(x)m,(x)m,(x) h()If() 性质2:若h()3(x),(x(x),则(士g)。 证:∵g(x)=h(x)m(x),f(x)=h(x)m2(x) m(x),m2(x)∈F[x (f±g)=h(x(mn(x)+m2(x),(x)(士g) 第一章多项式
第一章 多项式 则 h x f x ( ) ( ) 。（传递性） 证： h x g x g x f x ( ) ( ), , ( ) ( ) m x m x F x 1 2 ( ), ( ) 使 g x h x m x ( ) = ( ) 1 ( ), f x g x m x h x m x m x ( ) = = ( ) 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) h x f x ( ) ( ) 性质2：若 h x g x h x f x ( ) ( ), ( ) ( ) ，则 h f g ( ) 。 证： g x h x m x f x h x m x ( ) = = ( ) 1 2 ( ), ( ) ( ) ( ) m x m x F x 1 2 ( ), ( ) = + ( f g h x m x m x ) ( )( 1 2 ( ) ( )), h x f g ( ) ( )
性质3:若(x)(x),对vg(x)∈F[小]。有h 证:f(x)=h(x)m(x),m(x)∈F[x] f(x)g(x)=h(x)g(x)m(x), (x)/(x)g(x) 性质4:若h(x)f(x),i=12…m 则对g(x)∈F[x],i=12,…,m 有h(x)(1±82±…士m8m 性质5:若f(x)(x)g(x)f(x) 则∫(x)=c·g(x),c∈F 第一章多项式
第一章 多项式 性质3：若 h x f x ( ) ( ) ，对 g x F x ( ) 。 有 h fg 证： f x h x m x m x F x ( ) = ( ) ( ), ( ) f x g x h x g x m x ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ), h x f x g x ( ) ( ) ( ) 性质4：若 ( ) ( ), 1, 2, , , i h x f x i m = 则对 ( ) , 1, 2, , i g x F x i m = 有 h x f g f g f g ( ) ( 1 1 2 2 m m ) 性质5：若 f x g x g x f x ( ) ( ), ( ) ( ) 则 f x c g x c F ( ) = ( ),
证: 8=1,f=gl=∫(h) O(M)=0,h为常数 性质6:V(x)∈F[x]c∈F且c≠0 则c|f(x),cf(x)f(x) 性质7:V(x)∈F[x],f(x)零多项式 3.带余除法定理 定理131:设f(x)g(x)∈F[x],且8(x)≠0 则存在q(x),r(x)∈F[x],使得f(x)=g(x)9(x)+r(x) 这里o(r(x)<(g(x)或r(x)=0 第一章多项式
第一章 多项式 证： g hf f gl f hl = = = , , ( ) = (hl h l ) 0, , 为常数。 性质6： f x F x c F ( ) , 且 c 0 则 c f x cf x f x ( ), ( ) ( ) 性质7： f x F x f x ( ) , ( ) 零多项式 3. 带余除法定理 定理1.3.1： 设 f x g x F x ( ), ( ) ，且 g x( ) 0, 则存在 q x r x F x ( ), , ( ) 使得 f x g x q x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ) 这里 (r x g x ( )) ( ( )) 或 r x( ) = 0
满足条件的q(x)和(x)唯一确定 证:先证存在性 1、若/(5则取(236()=0 即知结论成立。 2、设列f(x)=n,ag(x)=m 对f(x)的次数n,利用数学归纳法 当n<m时,显然取q(x)=0,r(x)=f(x),即知结论成立。 下面讨论n≥m的情况。 假设当次数小于n时,q(x)r(x)的存在性已证 现考虑次数为n的情况 第一章多项式
第一章 多项式 满足条件的 q x r x ( )和 ( ) 唯一确定。 商式 余式 证：先证存在性。 1、若 f x( ) = 0 则取 q x r x ( ) = = 0, 0. ( ) 即知结论成立。 2、设 = = f x n g x m ( ) , , ( ) 对 f x( ) 的次数n，利用数学归纳法。 当n<m时，显然取 q x r x f x ( ) = = 0, ( ) ( ) 下面讨论 n m 的情况。 假设当次数小于n时， q x r x ( ), ( ) 的存在性已证 现考虑次数为n的情况。 ，即知结论成立
令ax2,bx"分别是f(x)g(x)的首项,因而多项式 f(x)-bax""g(x)=f1(x)的次数小于n或为0 若f(x)=0,取q(x)=b2axm,r(x)=0,结论成立; 若O(A)<n由归纳法假设,对f(x),g(x) 有q(x),1(x)存在,使f1(x)=q(x)g(x)+1(x) 其中o((x)<((x)或者(x)=0 于是f(x)=(q(x)+bam)g(x)+(x) 取q(x)=q1(x)+1x”m,(x)=(x) 就有f(x)=q (x)8(x)+r(x) 第一章多项式
第一章 多项式 令 , n m ax bx 分别是 f x g x ( ), ( ) 的首项，因而多项式 ( ) ( ) ( ) 1 1 n m f x b ax g x f x − − − = 的次数小于n或为0。 若 f x 1 ( ) = 0 ，取 ( ) ( ) 1 , 0 n m q x b ax r x − − = = 若 ( f n 1 ) , 由归纳法假设，对 f x g x ( ), ( ) 有 q x r x 1 1 ( ), ( ) 存在，使 f x q x g x r x 1 1 1 ( ) = + ( ) ( ) ( ) 其中 (r x g x 1 ( )) ( ( )) 或者 r x 1 ( ) = 0 于是 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 1 1 1 n m f x q x b ax g x r x − − = + + 取 ( ) 1 1 ( ) , ( ) ( ) a n m q x q x x r x r x b − = + = 就有 f x q x g x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ) ，结论成立；
其中(r(x)(1(x)-1(x)矛盾 故q(x)=q2(x)从而(x)=2(x) 第一章多项式
第一章 多项式 其中 (r x g x ( )) ( ( )) 或者 r x( ) = 0 再证唯一性。 f x g x q x r x r g ( ) = + ( ) 2 2 2 ( ) ( ), ( ) ( ) 若有 f x g x q x r x r g ( ) = + ( ) 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 则 g x q x q x r x r x ( ) 1 2 2 1 ( ) − = − ( ) ( ) ( ) 若 q x q x 1 2 ( ) ( ) 则 r x r x 1 2 ( ) ( ) − = + − (r x r x g x q x q x g x 2 1 1 2 ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) 这与 − ( g x r x r x ( )) ( 2 1 ( ) ( )) 矛盾， 故 q x q x 1 2 ( ) = ( ). 从而 r x r x 1 2 ( ) = ( )
推论1:若f(x),8(x)∈F[对]且g(x)≠0 则g(x)f(x)的充要条件是: g(x)除∫(x)的余式r(x)=0 证:充分性。 若∫(x)=g(x)q(x)+r(x)且r(x)=0 则有g(x)f(x) 必要性。 若g(x)(x),则f(x)=g(x)q(x) 例131设f(x)=5x2+2x3+3x2+7x+1 g(x)=x2+2x+3求g(x)除f(x)所得的余式和商式 第一章多项式
第一章 多项式 推论1： 若 f x g x F x ( ), ( ) 且 g x( ) 0, 则 g x f x ( ) ( ) 的充要条件是： g x( ) 除 f x( ) 的余式 r x( ) = 0 证： 充分性。 若 f x g x q x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ) 且 r x( ) = 0 则有 g x f x ( ) ( ) 必要性。 若 g x f x ( ) ( ) ，则 f x g x q x ( ) = ( ) ( ) 例1.3.1 设 ( ) 4 3 2 f x x x x x = + + + + 5 2 3 7 1, ( ) 2 g x x x = + + 2 3 求 g x( ) 除 f x( ) 所得的余式和商式
例132:证明x(x)(k21)的充要条件是xf(x) 证:充分性显然 下证必要性,设f(x)=x(x)+c 于是f(x)=[x(x)+c]=x(x)+c 由于xf^(x),故c=0,c=0 多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变,那么 问题:数域F上的多项式f(x)与g(x)的整除性 是否会因数域的扩大而改变? 多项式的整除性不因数域的扩大而改变 第一章多项式
第一章 多项式 例1.3.2：证明 ( ) ( 1) k x f x k 的充要条件是 x f x( ) 证：充分性显然。 下证必要性，设 f x xq x c ( ) = + ( ) 于是 ( ) ( ) 1 ( ) k k k f x xq x c xq x c = + = + 由于 x f x k ( ) ， 故 c c k = = 0, 0 。 多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么 问题：数域F上的多项式 f x( ) 与 g x( ) 的整除性 是否会因数域的扩大而改变？ 多项式的整除性不因数域的扩大而改变
