§1.5重因式
§1.5 重因式
定义1:不可约多项式P(x)称为f(x)的k重因式 (k∈N),如果p(x)(x),而P(x)下f(x) 当k=1时,P(x)就称f(x)的单因式, 当k>1时,P(x)称为f(x)的重因式 如果f(x)的标准分解式为: f(x)=an(x)2(x)…(x) 则n(x)…,P(x)分别是f(x)的因式,且分别为 k2…k重。 第一章多项式
第一章 多项式 定义1：不可约多项式 p x( ) 称为 f x( ) 的k重因式 (k N ), 如果 ( ) ( ), k p x f x 而 ( ) ( ) 。 k 1 p x f x + 当k=1时， p x( ) 就称 f x( ) 的单因式， 当k>1时， p x( ) 称为 f x( ) 的重因式。 如果 f x( ) 的标准分解式为： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , s k k k n s f x a p x p x p x = 则 p x p x 1 ( ), , s ( ) 分别是 f x( ) 的因式，且分别为 1 , , s k k 重
要求f(x)的重因式,只要把f(x)的标准分解 式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项 式分解为不可约因式的乘积。 因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重 因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念 定义2:多项式f(x)=a+ax+…+anx 的一阶导数指的是多项式: f(x)=a+2ax+…+manx”1(形式定义 阶导数f(x)的导数称为f(x)的二阶导数,记为 第一章多项式
第一章 多项式 要求 f x( ) 的重因式，只要把 f x( ) 式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项 的标准分解 式分解为不可约因式的乘积。 因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重 因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。 定义2： 的一阶导数指的是多项式： ( ) 1 1 2 2 n n f x a a x na x − = + + + （形式定义） ( ) 0 1 n n 多项式 f x a a x a x = + + + 一阶导数 f x ( ) 的导数称为 f x( ) 的二阶导数，记为 f x ( )
f"(x)的导数称为f(x)的三阶导数,记为f"(x) f(x)的阶导数记为/6(x) 多项式的求导法则: 1、((x)+g(x)=f(x)+g(x) 2、((x)=f"(x) 3、((x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 4、[f(x)]=mm(x)(x) 第一章多项式
第一章 多项式 f x ( ) 的导数称为 f x( ) 的三阶导数，记为 f x ( ) … … … … f x( ) 的k阶导数记为 ( ) ( ) k f x 多项式的求导法则： 1、 ( f x g x f x g x ( ) ( )) ( ) ( ); + = + 2、 (cf x cf x ( )) ( ); = 3、 ( f x g x f x g x f x g x ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ); = + 4、 ( ) ( ) ( ) 1 . m m f x mf x f x − =
定理161:若不可约多项式P(x)是f(x) 的k重因式(k>1),则P(x)是f(x)的k-1重因 式,特别多项式f(x)的单因式不是f(x)的因 式 证:f(x)=p2(x)g(x) f(x)=kp-(xp(x)g(x)+p(x)g(x) (x)[kp(x)g(x)+p(x)g(x)1 P(x)g(x),P(x) p(x) 第一章多项式
第一章 多项式 定理1.6.1：若不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的k重因式（k>1），则 p x( ) 是 f x ( ) 式，特别多项式 f x( ) 的单因式不是 f x ( ) 式。 证： ( ) ( ) ( ), k f x p x g x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 1 f x kp x p x g x p x g x − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k 1 p x kp x g x p x g x − = + p x g x p x p x ( ) ( ), , ( ) ( ) 的k-1重因 的因
p(x)卜p(x)g(x) 从而p(x)[(对)g(x)+p(x)8() 于是p(x)是(x)的k-重因式 推论1:若不可约多项式P(x)是f(x)的k重因式 (K>1),则p(x)是f(x),f(x)…(x)的因式,但 不是(x)的因式 证:P(x)是f(x)的k-1重因式, P(x)是f"(x)的k2重因式 第一章多项式
第一章 多项式 p x p x g x ( ) ( ) ( ), 从而 p x kp x g x p x g x ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) , 于是 p x( ) 是 f x ( ) 的k-1重因式。 推论1：若不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的k重因式 不是 ( ) ( ) k f x 的因式。 证： p x( ) 是 f x ( ) 的k-1重因式， p x( ) 是 f x ( ) 的k-2重因式， … … … … … （k>1），则 p x( ) 是 ( ) ( ) ( ) ' ( 1) , , , k f x f x f x − 的因式，但
P(x)是(x)的(k(k1)=1)单因式, 因而不是f(x)的因式 推论2:不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的 充要条件是p(x)是f(x)与∫(x)的公因式 证:必要性由推论1立得。 充分性,若p(x)是f(x)与f(x)的公因式,则 p(x)不是f(x)的单因式(否则,由推论1知Pp(x) 不是r(x)的因式),故P(x)是/(x)的重因式。 推论3:多项式∫(x)无重因式的充要条件是 f(x)与f(x)互素 第一章多项式
第一章 多项式 p x( ) 是 ( ) ( 1) k f x − 的（k-(k-1)=1）单因式， 因而不是 ( ) ( ) k f x 的因式。 推论2：不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的重因式的 充要条件是 p x( ) 是 f x( ) 与 f x ( ) 的公因式。 证：必要性由推论1立得。 充分性，若 p x( ) 是 f x( ) 与 ( ) ' f x 的公因式，则 p x( ) 不是 f x( ) 的单因式（否则，由推论1知 的因式），故 p x( ) 不是 f x ( ) p x( ) 是 f x( ) 的重因式。 推论3： 多项式 f x( ) 无重因式的充要条件是 f x( ) 与 f x( ) 互素
推论3表明,判别一个多项式有没有重因式,可 以利用辗转相除法得到。 在讨论与解方程有关的问题时,常常要求所讨论 多项式有没有重因式。 设多项式f(x)的标准分解式为: f(x)=a,Pk(x)p2(x) P* (x) 由定理1得: f(x)=n1(x)n-(x)…p1(x)g(x) 故((x),f(x)=n(x)P2-(x)…P(x) 第一章多项式
第一章 多项式 推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可 以利用辗转相除法得到。 在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论 多项式有没有重因式。 设多项式 f x( ) 的标准分解式为： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , s k k k n s f x a p x p x p x = 由定理1得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 2 , s k k k s f x p x p x p x g x − − − = 故 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 2 , . s k k k s f x f x p x p x p x − − − =
于是: 1、判别∫(x)有没有重因式,只要求f(x),f(x) 的最大公因式d(x),f(x)的重因式的重数恰好是d(x) 中重因式的重数加1。此法不能求f(x)的单因式 2、分离重因式,即求f(x)的所有不可约的单 因式: f(x) f(r) an(()()PLx)p1(x)Ps(x) 例16.1在Q[x]中分解多项式 f(x)=x2+2x2-11x2-12x+36 第一章多项式
第一章 多项式 于是： 1、判别 f x( ) 有没有重因式，只要求 f x f x ( ), ( ) 的最大公因式 d x( ), f x( ) 的重因式的重数恰好是 d x( ) 中重因式的重数加1。此法不能求 f x( ) 的单因式。 ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 2 ( ) ( ) ( ) , s n f x f x p x p x p x a f x f x = = 例1.6.1 在 Q x 中分解多项式 ( ) 4 3 2 f x x x x x = + − − + 2 11 12 36 2、分离重因式，即求 f x( ) 的所有不可约的单 因式：
f(x)=(x-2)(x+3)2 例162:求多项式f=x3+px+g有重因式的条件。 ≠0 3x-2p 3x 2+p px t q 3x2+9x x +=x 9qx+p 1(x dca x+g P 2742p XI(X=x+ p 4p 27 p Ap 第一章多项式
第一章 多项式( ) ( ) ( ) 2 2 = − + f x x x 2 3 例1.6.2：求多项式 3 f x px q = + + 有重因式的条件。 3 x px q + + 2 3x p + 1 3 x 3 3 p x x + 1 ( ) 2 3 p r x x q = + 1 ( ) 3 3 2 2 q r x x p p = + 3x 2 9 3 2 q x x p + 9 2 q x p p − + 9 2 q p p 0 − 2 2 9 27 2 4 q q x p p − − 2 2 27 4 q p p +