湖南商学院：《概率论》课程教学资源（PPT课件）第三章 随机向量及分布（3.3）二维连续型随机向量

第三章第三节 二维连续型随机向量 (I)概率密度函数 设二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y) 如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y,总有 F(x,v)= f(u, Ddudv 则称(X,Y)为连续型随机向量概率密度函数,简称 概率密度

(I) 概率密度函数 设二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y). 如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y,总有 则称(X,Y)为连续型随机向量概率密度函数,简称 概率密度. − − = y x F(x, y) f (u,v)dudv 第三章第三节 二维连续型随机向量

FO,D) f(u, dudu ○○ 0.8 0 0.4 0.2 10 翼 0 10 2020

− − = y x F(x, y) f (u,v)dudv

随机变量(xD 维随机变量X 连续型 连续型 X和Y的联合密度函数 X的密度函数 f(x,y) P{(x,y)∈A} Pa≤X≤b} IIf(x,y)dxdy f(xdx f(x,y)≥0 f(x)≥0 f(x)dx=1 f(x, y)dxdy=l

 = b a f (x)dx 连续型 一维随机变量X X的密度函数   − f (x)dx =1 f (x)  0 P{a  X  b} 二维随机变量（X,Y） 连续型 f (x, y) X和Y 的联合密度函数 f (x, y)  0    −  − f (x, y)dxdy =1 f x y dxdy A  = ( , ) P{( x, y) A} A  2

对连续型vX,Y),其概率密度与 分布函数的关系如下: f(x, y) O F(x, y) axon 在∫(x)的连续点 F(x, y)= f(u, v)dudi

对连续型r.v(X,Y)，其概率密度与 分布函数的关系如下： x y F x y f x y    = ( , ) ( , ) 2 在 f (x,y)的连续点 − − = x y F(x, y) f (u,v)dudv

列—设(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y= ∈R x(16+x2)(25+y2) 其中A是常数.(1)求常数A (2)求(X,Y)的分布函数; (3)计算P{0<X<4,0<Y<5} 解:(1) dxdy=1 x2(16+x2)(25+y2)

解: (1) 例 1 设(X,Y)的概率密度函数为 其中A是常数.(1)求常数A. (2)求(X,Y)的分布函数； (3)计算P{0<X<4,0<Y<5}. x y R x y A f x y  + + = , (16 )(25 ) ( , ) 2 2 2  1 (16 )(25 ) 2 2 2 = + +    −  − dxdy x y A  

A x2J(16+x2) x(25+y2) ∞16+x 25+ 5 a n T 4=20 45

1 (25 ) 1 (16 ) 1 2 2 2 = +  +    −  − dy y dx x A  即 1 20 4 5 25 5 1 , 16 4 1 2 2 2   =  = = + = +    −  − A A dy y dx x      

(2) F(x,y) 20 2(16+2)(25+1chhv 20 2J-∞16+ ∞025+1 又ar+ 201 x)1 arte t 42)5 52 x 1 arct C、D 42 52

       +      = +        +      =  + +  + = + + =     − − − − 2 1 5 1 2 1 4 1 5 5 2 1 4 4 2 20 1 25 1 16 20 1 (16 )(25 ) 20 (2). ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 y arctg x arctg y arctg x arctg dv v du u dudv u v F x y x y y x       

3)P{0<X<4,0<Y<5} 20 10J0x2(16+x2)(25+23cxdy 20c41 x2J016+x o25+y 4 arct 4 201 +0).1 5 arct+O 4 5 5 1- 4 ZT 4 16

(3) P{0<X<4,0<Y<5} 16 1 4 1 4 1 0 5 5 5 1 0 4 4 4 20 1 25 1 16 20 1 (16 )(25 ) 20 2 5 0 2 4 0 2 2 5 0 4 0 2 2 2  =            =        +      =  + +  + = + + =            arctg arctg dy y dx x dxdy x y

匀匀分布 定义设D是平面上的有界区域,其面积为d, 若二维随机向量(X,Y的概率密度函数为 )∈D f(,y) 0(x2,y)≠D 则(X,Y)称服从D上的均匀分布 (X,Y)落在D中某一区域A内的概率 P{(X,Y)∈A},与A的面积成正比而与A的位置 和形状无关 w▲

(二) 均匀分布 定义 设D是平面上的有界区域,其面积为d, 若二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为: 则(X,Y)称 服从D上的均匀分布.        = x y D x y D d f x y 0 ( , ) ( , ) 1 ( , ) (X,Y)落在D中某一区域A内的概率 P{(X,Y)A},与A的面积成正比而与A的位置 和形状无关. P{(X,Y)A}= A的面积/d

例2设(x,Y)服从圆域 x2+y2≤4上的均匀分布 计算P{(X,Y)eA 这里A是图中阴影部 分的区域 解 圆域x2+y2≤4的面积d=4 区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的 角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积 0.5 P{(X,Y)∈A}=0.5/4m=1/8兀

解: 例2 设(X,Y)服从圆域 x 2+y2≤4上的均匀分布. 计算P{(X,Y)A}, 这里A是图中阴影部 分的区域 圆域x 2+y2≤4的面积d=4 区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的 三角区域,并且包含在圆域x 2+y2≤4之内,面积 =0.5 ∴ P{(X,Y)A}=0.5/4=1/8