实变函数 第二章n维空间中的点集 第一节n维欧氏空间
第一节 n维欧氏空间 第二章 n 维空间中的点集
1度量空间 ●定义:设X为一非空集合,d:X×X→R为一映射, 且满足 (1)d(xy)≥0,d(xy)=0当且仅当x=y(正定性) 2)d(xy)=d(yx)(对称性) (3)d(xy)≤d(xz)+d(zy)(三角不等式) 则称(Xd)为度量空间
⒈度量空间 ⚫ 定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射， 且满足 ⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） 则称(X,d)为度量空间. ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）
)欧氏空间(Rn,d),其中(xy)=(x-x) 2)离散空间(X,d),其中 d(,y) 1x≠y 10x=y (3Cab空间(Cab表示闭区间ab]上实值连 续函数全体),其中 d(x, y)=max x(t)-y(t acts
例： ⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连 续函数全体), 其中 d(x, y) max | x(t) y(t)| a t b = − = = − n i i i d x y x y 1 2 ⑴欧氏空间（ ( , ) ( ) R n , d）,其中 x y x y d x y = = 1 0 ( , ) { ⑵离散空间(X , d)，其中
2欧氏空间中各类点的定义 点P的6邻域:Oma)={pd(Pp)0.有Om∩E≠ 记E为E的闭包(接触点全体) P为E的聚点:V6>0,有Omn∩(E-{P0)≠① 记E为E的导集(聚点全体)接触点、聚点 不一定属于E P为E的狐立点:6>0.使得On∩E={P E=E∪E的孤立点全体=E∪B孤立点一定属于E
⒉欧氏空间中各类点的定义 E = E E = E E ' ' { 的孤立点全体} 接触点、聚点 不一定属于E 孤立点一定属于E { | ( , ) } 点P O( p0 , ) = p d p0 p 0的δ邻域： O( p , ) E 0 0, P 有 0为 E的接触点： 0, ( , ) ( −{ 0 }) 0 P 有O p E p 0为 E的聚点： 0, { } P0为 E的孤立点： 使得O( p0 , ) E = p0 记 E 为 E的闭包（接触点全体） 记 E' 为 E的导集（聚点全体）
欧氏空间中各类点的定义 P为E的内点:36>0.使得Om0CE 记E为E的内部(内点全体) 内点一定属于E P为E的外点:6>0.使得OA∩E= P为E的内点:即6>0.使得OmCE P为E的边界点:V6>0.有OmAE≠且OmAE≠① EE为E的边界(边界点全体)边界点不一定属于E
欧氏空间中各类点的定义 边界点不一定属于E 内点一定属于E c O( p , ) E 0 0, P0为 E 即 使得 c的内点: O( p , ) E 0 0, P0为 E的内点： 使得 O( p , ) E = 0 0, P 使得 0为 E的外点： c O( p , ) E O( p , ) E 0 0 0, P 有 且 0为 E的边界点： 记 E 为 E的内部（内点全体） 记E 为 E的边界（边界点全体）
注:接触点、聚点、边界点不一定属于E 内点、孤立点一定属于E。 由定义可知E=E∪{E的孤立点全体}=E∪E=E∪OE 例(1)令E=Q,则E=E=DE=RE= (2)令E={1,12,13…,1k,…},则E=0 对一切1/k(k=1,2,3,….)均为E的孤立点 接触点、聚点表示它与集合紧挨 内点表示它周围的点都在集合内
注：接触点、聚点、边界点不一定属于E， 内点、孤立点一定属于E。 例（1）令 E = Q ， 则 = = = = E E E R E ' （2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},则 对一切1/k (k=1,2,3, …)均为E的孤立点。 {0} ' E = 接触点、聚点表示它与集合紧挨 内点表示它周围的点都在集合内 ' ' 由定义可知 E E E E E E E = = = { } 的孤立点全体
外点、接触点、内点的关系 (E)=(E)(E)=(E) P为E的内点:>0使得OmE P为E的外点:6>0使得O1n∩E=①,围O(0CE P为E的接触点:6>0有On∩E≠①
外点、接触点、内点的关系 c c c c (E) (E ) (E ) (E ) = = O( p , ) E 0 0, P0为 E的接触点： 有 O( p , ) E 0 0, P0为 E的内点： 使得 c O( p , ) E = O( p , ) E 0 0 0, , P 使得 即 0为 E的外点：
例设p是E的聚点,证明p的任意邻域内至少含有无穷多 属于E而异于p0的点 证明:由条件知v6>0.On8)7(E-{P0})≠(*) 假如On6∩(E-{P)为有限集, 不妨令Om∩(E-{Pn)={P,P2,…,Pn 取δ=min{d(P,p0)i=1,2,…,m} 则Ox)(E-{P)= P 这与(*)矛盾, Pδ 所以Q∩(E-为无眼集
例 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多 属于E而异于p0的点. 假如O( p0 , ) (E −{p0 })为有限集， ( { } ) { , , , } 不妨令O( p0 , ) E − p0 = p1 p2 pn min{ ( , )| 1,2, , } 取 = d pi p0 i = n ( , ) ( −{ 0 }) = 0 则O p E p ( { }) O( p0 , ) E − p0 这与（*）矛盾， 所以 为无限集。 0 ( , ) 0 0, ( { }) O E p p 证明：由条件知 − （*） P0 δ Pn
例E中的孤立点集或为有限集或为可数集 证明:设A为狐立点集,∨x∈A,由孤立点 的定义知O>0,使得O∩E={x}(*) 下证xy∈Ax≠y必有O135Ow,=中 香则若eOs0O5 则d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)<6,+16,≤mx{,6n} 这与(*)式矛盾, 所以|Ox∈A是一簇两两不交的开区间, 从而A至多可数
例 E中的孤立点集或为有限集或为可数集。 ( , ) ( , ) = 2 1 2 , , , 1 x y O x O y x y A x y 下证 必有 ( , ) ( , ) 2 1 2 , 1 x y O x O y z 否则 若 ( , ) ( , ) ( ,, ) max{ , } 2 1 2 1 x y x y 则d x y d x z + d z y + 1 2 ( , ) { | } x O x A x 这与（*）式矛盾， 所以 是一簇两两不交的开区间， 从而A至多可数。 xA 0, { } (*) ( , ) O E x x x 使得 x = 证明：设A为孤立点集， ，由孤立点 的定义知
3聚点的等价描述 定义:称点列p收敛于p,记为:圆= 若imd(pnP)=0 n→0 P 即v6>0,N>0,m≥N,有n∈Om 定理:下列条件等价: (1)P为E的聚点(即:V6>0有O∩(E-{1)≠) (2)点p的任意邻域内,含有无穷多个属于E而异于p的点 (3)存在E中互异的点所成点列{p,使得mP=P 证明:(3)→(2)→(1)显然,下证(1)→(3)
⒊聚点的等价描述 证明：(3) (2) (1) 显然，下证 (1) (3) 定理：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列{pn}, 使得 0 lim pn p n = → 0 ( , ) 0 ( 0, ( { }) O E p p 即： − 有 ） P0 δ Pn ( , ) 0 0 0, 0, , lim ( , ) 0, n p n n N n N p O d p p = → 即 有 若 0 lim p p n n = 定义：称点列{pn} 收敛于p0 , 记为： → (2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点