实变函数 第四节微分与不定积分 单调函数的结构 目的:熟练掌握单调函数的结构,熟悉 单调函数的基本性质以及跳跃度、跳 跃函数等重要概念 重点与难点:单调函数的性质与结构
第四节 微分与不定积分 目的：熟练掌握单调函数的结构，熟悉 单调函数的基本性质以及跳跃度、跳 跃函数等重要概念。 重点与难点：单调函数的性质与结构。 4.2 单调函数的结构
第二节单调函数的结构 基本内容: 问题的提出 问题1: Newton- Leibniz公式告诉我们 什么?它的重要性表现在什么 地方?对于 Lebesgue积分而言 能否建立类似的结论?
基本内容： 一．问题的提出 问题1：Newton-Leibniz公式告诉我们 什么？它的重要性表现在什么 地方？对于Lebesgue积分而言， 能否建立类似的结论？ 第二节 单调函数的结构
第二节单调函数的结构 牛顿-莱布尼兹公式告诉我们,如果 f(x)是[a,b上的连续函数,则 F(x= f(tdt 是f(1)的一个原函数,即 F"(x)=f(x)
牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，如果 是 [a, b] 上的连续函数，则 是 的一个原函数，即 。 第二节 单调函数的结构 f (x) = x a F(x) f (t)dt f (t) F(x) = f (x)
第二节单调函数的结构 假如我们将 Rieman积分换成 Lebesgue 积分,类似的结论是否仍成立?具体 地说,若f(x)是[a,6上的 Lebesgue可积 函数,则 F(x)=∫f 在[a,b上是否可导?如果可导,其导 函数是否等于f(x)?
第二节 单调函数的结构 假如我们将Riemann积分换成Lebesgue 积分，类似的结论是否仍成立？具体 地说，若 是[a,b]上的Lebesgue可积 函数，则 在[a,b]上是否可导？如果可导，其导 函数是否等于 ？ f (x) = [ , ] ( ) ( ) a x F x f t dt f (x)
第二节单调函数的结构 另一方面,如果f(x)是a,b上的可导 函数,则f(x)在[a,b上是否可积?如 果可积,则F(x)=「f(ot 是否等于f(x)?不难看到,无论是对 Riemann积分还是对 Lebesgue积分而言, 一个函数即使处处有导数,其导函数未 必是可积的
另一方面，如果 是 [a, b] 上的可导 函数，则 在 [a, b] 上是否可积？如 果可积，则 是否等于 ？不难看到，无论是对 Riemann积分还是对Lebesgue积分而言， 一个函数即使处处有导数，其导函数未 必是可积的。 第二节 单调函数的结构 f (x) = [ , ] ( ) ( ) ~ a x F x f t dt f (x) f (x)
第二节单调函数的结构 例如,若 f(x) x≠0 0 则f(x)在[O,1上处处有导数,然而f(x 在01上却是不可积的(参见江泽坚、吴 智泉合编《实变函数论》第二版,高教 出版社1998)。那么,什么样的函数的导 函数是可积的呢? 这正是我们关心的问题
第二节 单调函数的结构 例如，若 则 在[0,1]上处处有导数，然而 在[0,1]上却是不可积的 (参见江泽坚、吴 智泉合编《实变函数论》第二版，高教 出版社1998)。那么，什么样的函数的导 函数是可积的呢？ 这正是我们关心的问题。 = = 0 0 cos 0 ( ) 2 2 x x x x f x f (x) f (x)
第二节单调函数的结构 二.单调函数的间断点 定义1设f是定义在实直线R中点集 E上的有限函数,如果对任意,x1x2EE 当x<x时,不等式f(x)≤f(x2)恒成 立,就称∫是E上的单调增加函数 如果f(x)<f(x2)恒成立,则称f为E 上的严格单调增加函数
二. 单调函数的间断点 定义1 设 f 是定义在实直线 R1 中点集 E 上的有限函数，如果对任意， 当 时，不等式 恒成 立， 就称 f 是 E 上的单调增加函数。 如果 恒成立，则称 f 为 E 上的严格单调增加函数。 第二节 单调函数的结构 x1 , x2 E 1 2 x x ( ) ( ) 1 2 f x f x ( ) ( ) 1 2 f x f x
第二节单调函数的结构 如果当xf(x2)恒成立,则 称∫为E上的严格单调递减函数
第二节 单调函数的结构 如果当 时，不等式 恒成立， 则称 f 是 E 上的单调递减函 数。若不等式 恒成立，则 称 f 为 E上的严格单调递减函数。 1 2 x x ( ) ( ) 1 2 f x f x ( ) ( ) 1 2 f x f x
第二节单调函数的结构 问题2:单调函数的间断点哪些类 型?间断点有多少?
第二节 单调函数的结构 问题2：单调函数的间断点哪些类 型？间断点有多少？
第二节单调函数的结构 若f是E上的有限函数,x∈E,f在 x点的右极限f(x+0)在,则称 f(x+0)-f(x)为f在x点的右方跳 跃度,若∫在x点的左极限f(x2-0 存在,则称f(x)-f(x1-0)为f在x0 点的左方跳跃度
第二节 单调函数的结构 若 f 是 E 上的有限函数， 在 点的右极限 存在，则称 为 f 在 点的右方跳 跃度，若 f 在 点的左极限 存在，则称 为 f 在 点的左方跳跃度。 x E, f 0 ( 0) f x0 + ( 0) ( ) 0 0 f x + − f x ( 0) f x0 − ( ) ( 0) f x0 − f x0 − 0 x 0 x 0 x 0 x