§1.8复数域和实数域上的多项式
§1.8 复数域和实数域上的多项式
C上多项式 对于F[x]上的多项式f(x),它在F上未必有根, 那么它在C上是否有根? 定理18.1(代数基本定理): 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有 个根 定理182: 任何n(n>0)次多项式在C上有n个根(重根按 重数计算) 证:当n=1时结论显然成立。 第一章多项式
第一章 多项式 一、C上多项式 对于 F x 上的多项式 f x( ) ，它在F上未必有根， 那么它在C上是否有根？ 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有 一个根。 定理1.8.1（代数基本定理）： 任何n（n>0）次多项式在C上有n个根（重根按 重数计算）。 定理1.8.2： 证： 当n=1时结论显然成立
假设结论对n1次多项式成立,则当f(x) 是n次多项式时,由于f(x)在C上至少有一个根, 设为a,则f(x)=(x-a)f(x),f(x)是C上n-1次 多项式。由归纳假设知f(x)在C上有n-1个根, 它们也是f(x)在C上的根,所以f(x)在C上有 个根 推论1:复数域上任一个次数大于1的多项式 都是可约的,即C上不可约多项式只能是一次多 项式 推论2:任一个n(n>0)次多项式f(x)在 第一章多项式
第一章 多项式 假设结论对n-1次多项式成立，则当 f x( ) 是n次多项式时，由于 f x( ) 在C上至少有一个根， 设为 , 则 f x x f x ( ) = − ( ) 1 ( ) ， f x 1 ( ) 是C上n-1次 多项式。由归纳假设知 f x 1 ( ) 在C上有n-1个根， 推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式 都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多 项式。 推论2：任一个n（n>0）次多项式 f x( ) 在 f x( ) 在C上的根，所以 f x( ) n个根。 它们也是 在C上有
C冈]上都能分解成一次因式的乘积,即 f(x)=a0+ax+…+anx的标准分解式是 f(x)=an(x-a)^(x-a2)2…(x-a,) 其中a1…,a,是不同的复数,k2…k是自然数且 ∑k 韦达定理:设a,c,是ax2+bx+c的两个根,则 a, C12 第一章多项式
第一章 多项式 上都能分解成一次因式的乘积，即 ( ) 0 1 n n f x a a x a x = + + + 的标准分解式是： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 r k k k n r f x a x x x = − − − 其中 1 , , r 是不同的复数， 1 , , r k k 是自然数且 1 . r i i k n = = 韦达定理：设 1 2 , 是 2 ax bx c + + 的两个根，则 1 2 1 2 , b c a a + = − = C x
C上多项式的根与系数关系: 设f(x)=x+ax1+…+an1x+ 一(1) 是一个n(n>0)次多项式,则它在C中有n个根,记 为 则 f(x)=(x-a(x-a2)(x-an) n-1 X Cx1+…+1)x +∑ C.C.x-+∴+ 1≤i<j≤n (2) 比较(1)与(2)的展开式中同次项的系数, 第一章多项式
第一章 多项式 C上多项式的根与系数关系： 设 ( ) 1 1 1 n n n n f x x a x a x a − = + + + + − —（1） 是一个n（n>0）次多项式，则它在C中有n个根，记 f x x x x ( ) = − − − ( 1 2 )( ) ( n ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 n n n n n i j n i j n x x x − − = − + + + + + − —（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数， 1 2 , , , 为 n 则
得根与系数的关系为: a=-(a1+…+cn a,=(a,a+a,a +.tam-Inn C1C,2+c1C2C1+…+C (-1)(aa2…an1+aa3…an+…+aQa3…an) (-1) 如果f(x)=ax+ax4+…+an1x+an 根与系数的关系又如何? 第一章多项式
第一章 多项式 得根与系数的关系为： a1 1 = − + + ( n ) a2 1 2 1 3 1 = + + + ( n n − ) a3 1 2 3 1 2 4 2 1 = − + + + ( n n n − − ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 3 2 3 1 n n n n n a − − − = − + + + ( ) 1 2 1 n n n a = − 如果 ( ) 1 0 1 1 n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − 根与系数的关系又如何？
f(x)=aox+ax++a-x+a anx"+x+…+ x+ do(x-a x-a C1+…+C C k /a=(-1)∑ k 互 不相同 a, /a=(1)la 第一章多项式
第一章 多项式 ( ) 1 0 1 1 n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − 1 1 1 0 0 0 0 n n n n a a a a x x x a a a − − = + + + + = − − a x x 0 1 ( ) ( n ) = − + + a a 1 0 1 ( n ) 2 0 i j a a a a = ( ) 1 2 1 0 , 1 k k k k r r r r r a a = − 互 不相同 0 ( ) 1 1 n n n i i a a = = −
利用根与系数的关系,可以构造一个n次多项式, 使其恰以α1,a2…,ar,为根 例181:求一个首项系数为1的4次多项式,使 它以1和4为单根,-2为2重根。 解:设∫(x)=x4+ax3+a2x2+a2x+a2 +4-2-2)= a,=(4-2-2-8-8+ a3=-(-8-8+16+4)=4 a4=(-)16=16 f(x)=x4-x3-12x2-4x+16 第一章多项式
第一章 多项式 利用根与系数的关系，可以构造一个n次多项式， 使其恰以 1 2 , , , n 为根。 例1.8.1： 它以1和4为单根，-2为2重根。 求一个首项系数为1的4次多项式，使 解：设 ( ) 4 3 2 1 2 3 4 f x x a x a x a x a = + + + + , 则 a1 = − + − − = − (1 4 2 2 1, ) a2 = − − − − + = − (4 2 2 8 8 4 12, ) a3 = − − − + + = − ( 8 8 16 4 4, ) ( ) 4 4 a = − = 1 16 16. ( ) 4 3 2 f x x x x x = − − − + 12 4 16
实数域上的多项式 定理183:如果a是实数系数多项式∫(x)的 非实复根,则a的共轭复数a也是f(x)的根,且 c与a有相同的重数 证:设f(x)=ax"+a1x+…+an 由于a是f(x)的根, 故有 aa+aan-1+…+a.=0 两边取共轭复数,注意到a41…an和0都是实数, 则有aQ"+a12n+…anl+an=0 可见区也是f(x)的根。 第一章多项式
第一章 多项式 二、实数域上的多项式 定理1.8.3：如果 是实数系数多项式 f x( ) 的 与 有相同的重数。 证：设 ( ) 1 0 1 n n n f x a x a x a − = + + + 由于 是 f x( ) 的根， 故有 1 0 1 0 n n n a a a − + + + = 两边取共轭复数，注意到 0 1 , , , n a a a 和0都是实数， 则有 1 0 1 1 0 n n n n a a a a − + + + = − 可见 也是 f x( ) 的根。 非实复根，则 的共轭复数 也是 f x( ) 的根，且
因此多项式: g(x)=(x-a)(x-a)=x(a+a)x+aa 能整除f(x),即存在多项式h(x), 使 f(x)=8(x)h(x),g(x)是实系数多项式, 故h(x)也是实系数多项式 若a是f(x)的重根,由于≠a, 故必是h(x)的根,b(x)是实系数,故a也是 h(x)的根,故区也是f(x)的重根 重复应用这个推理方法知c与的重数相同 第一章多项式
第一章 多项式 因此多项式： ( ) ( )( ) ( ) 2 g x x x x x = − − = − + + 能整除 f x( ) ，即存在多项式 h x( ) ， 使 f x g x h x ( ) = ( ) ( ), g x( ) 是实系数多项式， 故 h x( ) 也是实系数多项式。 若 是 f x( ) 的重根，由于 ， 故 必是 h x( ) 的根， h x( ) 是实系数，故 也是 h x( ) 的根，故 也是 f x( ) 的重根。 重复应用这个推理方法知 与 的重数相同