实变函数 第五章积分论 第三节 Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系
第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 第五章 积分论
Riemann积分对定义域作分划 (Rfx)k=hm∑/()x Lesbesgue积分对 划 yi ()「(x)=m5mE i=1 本节主要内容 若〔x) Riemann可积,则x)在[ab]上 Lebesgue可积,且积分值相等 ●f(x)Remn可积当且仅当(x)的不连续点全体为零测度集
yi yi-1 i n i i a b L f x dx mE = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim Lesbesgue积分 对值域作分划 xi-1 xi i n i i T b a R f x dx = f x = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) Riemann积分 对定义域作分划 本节主要内容: ⚫若f(x) Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且积分值相等 ⚫f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集
Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b上 Riemann可积 今f(x)x= lim>MAr|=lim∑mAx1=f(x)dx T|>0 T|→>0 VE>03分割T,使得∑aAx≤ 11=Sup{f(x):x1≤x≤x} 1=nf{f(x):x1≤x≤x}
Riemann可积的充要条件 i i i i i i i i i M m m f x x x x M f x x x x = − = = − − inf{ ( ): } sup{ ( ): } 1 1 0 1 = i n i i T x 1 0, 分割 ，使得 i n i i T b a f x dx = M x = → 1 || || 0 ( ) lim m x f x dx b a i n i i T lim ( ) 1 || || 0 = = = → f(x)在[a,b]上Riemann可积
Darboux上、下积分 对[ab]作分划序列 m):a=x(0)0o 令(对每个i及n) sup{f(x):x-m≤x≤ m=if(f(x):x/≤x≤x{"} DQk上积分f(x)=m∑M(x-x() →O Darboux下积分mb f(x=imn∑m0(x0-x n→ i=1
Darboux上、下积分 对[a,b]作分划序列 T (n) : a = x0 (n) x1 (n) x2 (n) xk (n n ) = b n =1,2,3, | | max{ : 1 } lim | | 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = − = → − n n n n i n i n T x x i k T inf{ ( ): } sup{ ( ): } ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) n i n i n i n i n i n i m f x x x x M f x x x x = = − − 令（对每个i及n） Darboux上积分 ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) n i n i k i n i n b a f x dx M x x n − = → = − ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) n i n i k i n i n b a f x dx m x x n − = → = − Darboux下积分 xi-1 xi
引理:设f(x)在[ab]上为有界函数,记(x)为[a,b] 上的振幅函数,则 Jab o(x)dr= f(dx-rb f(x)dx 证明:由于(x)在ab]上为有界函数, 故0(x)为a,b]上有界函数, 又对任意实数tx∈E:(x)≥}为闭集, 故o(x)为ab]上的可测函数,从而x)L可积
引理：设f(x)在[a,b]上为有界函数，记ω(x)为[a,b] 上的振幅函数，则 x dx f x dx f x dx b a b a b a ( ) ( ) ( ) [ , ] = − 故ω(x)为[a,b]上的可测函数，从而f(x) L可积。 证明：由于f(x)在[a,b]上为有界函数， 故ω(x)为[a,b]上有界函数， 又对任意实数 {x E :(x) t} t， 为闭集， xi-1 xi
引理的证明 对[ab]作分划序列 n a=x0xx(∠…xm)bn=1,2,3,… 7=max{x(m)-x):1≤i≤k lim T =0 n→0 作函数列 x∈(x PTom(r) 0 x是T(的分点 i=1.2.3.…k n=12.3. 5n9
lim | | 0 | | max{ : 1 } ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = = − → − n n n n i n i n T T x x i k 作函数列 1,2,3,, , 1,2,3, 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) = = − = − i k n x T M m x x x x n n n i n i n i n i T n 是 的分点 T (n) : a = x0 (n) x1 (n) x2 (n) xk (n n ) = b n =1,2,3, 对 [a,b]作分划序列 xi-1 xi 引理的证明
引理的证明 令E={x∈[a61:x是70(n=123,)分点} !mE=0,且 lim o(x)=o(x),x∈[a,b]-E n→0 令A,B为f(x)在ab上的上、下确界, 则对一切n有|Onm(x)|B-A由控制收敛定理可知 lim rom()dx=L,o(x)dx n→>∞J[a,b] a
引理的证明 m E x x x a b E E x a b x T n n T n n = = − = = → 0, lim ( ) ( ), [ , ] { [ , ]: ( 1,2,3, ) }, ( ) ( ) 则 且 令 是 的分点 则对一切 有 由控制收敛定理可知 令 为 在 上的上、下确界， | ( )| , , ( ) [ , ] n ( ) x B A A B f x a b n T − lim ( ) ( ) , [ , ] [ , ] ( ) = n→ a b T a b n x dx x dx xi-1 xi
引理的证明 n→>叫a,b7() ∞(x)lx, 另一方面 lim,,(x)dx=lim ∑(Mm-m)x7-x) n-∞J[a,b n→)00 ∑ MIn (n)/、(n) n→0 从而结 f(x)dx-f(x)dx 论成立
引理的证明 另一方面 lim ( ) ( ) , [ , ] [ , ] ( ) = → a b a b T n n x dx x dx f x dx f x dx M x x m x x b a b a n i n i k i n i n n i n i k i n i n n n ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) = − = − − − − = → − = → 从而结 论成立 xi-1 xi lim ( ) lim ( )( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) [ , ] ( ) n i n i k i n i n i n a b T n x dx M m x x n n − = → → = − −
教林p-104有另一种证明 1. Rieman可积的内在刻画 定理:有界函数(x)在[a,b]上 Riemann可积的 充要条件是fx)在ab]上的不连续点全体为零 测度集 证明:若(x) Riemann可积,则fx)的 Darboux上、下积分相等, 从而O03)(xk-f(x)=0 又(x)≥0acJ[a,b] 故o(x)在a,b上几乎处处为零
1.Riemann可积的内在刻画 定理：有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的 充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零 测度集 教材p-104有另一种证明 从而 ( ) ( ) ( ) 0， [ , ] = − = x dx f x dx f x dx b a b a b a 证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的 Darboux上、下积分相等， 故 在 上几乎处处为零。 又 于 ( ) [ , ] ( ) 0 . . [ , ], x a b x a e a b
又o(x)≥0ae于[a,b 故(x)在[a,b上几乎处处为零 从而x)在[ab上的不连续点全体为零测度集, 上述过程反之也成立。 引理:设f(x)是E上有限实函数,则fx)在x∈E 处连续的充要条件是x)在x处的振幅为0 证明参照教材p-102
故 在 上几乎处处为零。 又 于 ( ) [ , ] ( ) 0 . . [ , ], x a b x a e a b 上述过程反之也成立。 从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集， 引理：设f(x) 是E上有限实函数，则f(x)在x0∈E 处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0 证明参照教材p-102