《概率论与数理统计》课程教学资源：第四章习题课

第四章习题课 概率统计兰

《概率统计》 第四章习题课

问题1 数学期望定义中 为何要求绝对收敛? 我们通过一个期望不存在的例子 来说明这个问题 设X的分布律为n=PX=x)=l/2 其中x=(-12/kk=1, 则∑xp2=∑(-/k =1-1/2+1/3-1/4+…=ln2.(J)

2 问题1 数学期望定义中 为何要求绝对收敛？ 我们通过一个期望不存在的例子 来说明这个问题. 设 X 的分布律为 k k k p P(X x )1/2 其中 xk (1) k12 k /k k 1,2, 则   k1 k pk x       1 1 ( 1) / k k k 11/ 2 1/ 31/ 4  ln 2. ( J )

但由于∑xP=∑1/k=0 因此X的数学期望不存在.事实上由 微积分知识可知,如果把(J)式左边 级数中的项进行重排可能收敛于不同 的数,例如 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+…=1.5ln2 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+…=0.5ln2 随机变量的数学期望只能是一个 数,因此期望定义中要求的绝对收敛是

3 但由于    k1 k pk x      1 1/ k k 因此 X 的数学期望不存在.事实上由 微积分知识可知,如果把 ( J ) 式左边 级数中的项进行重排可能收敛于不同 的数，例如 11/31/ 21/51/ 71/ 41.5ln2. 11/ 21/ 41/31/ 61/8 0.5ln2. 随机变量的数学期望只能是一个 数,因此期望定义中要求的绝对收敛是

Q峪要的它可以保守的变化不影 问题2书中方差性质4如何证明? D(X)=0令P(X=C)=1 证先证必要性当D(X)=EX-E(X)2=0时, 记E(X=C.若结论不成立,则 P(X=C)0 于是 a MY=(x-ORY=O+ >/x-ORX=x)

4 必要的，它可以保证顺序的变化不影 响数学期望中级数的收敛性. 问题2 书中方差性质4如何证明？ D(X )  0  P(X  C) 1 证 先证必要性 当 ( ) [ ( )] 0 时, 2 D X  E X E X  记E(X) C . 若结论不成立, 则 P(X  C) 1 或等价地 P(X  C)  0 于是         x x C D X x C P X C x C P X x : 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Q右端第二项和式中至少有一项 P(X=a)>0 a≠C 从而对应的(a-C2>0,因此 DX=(a-CPX=a>0 与已知矛盾,所以P(X=C)=1 再证充分性当P(X=C)=1时, B(X=C1=C,B(2)=C1=C2, 则D()=B(X2)-[E()3=C2-C2=0

5 右端第二项和式中至少有一项 P(X  a)  0, a  C 从而对应的(aC) 2 0,因此 ( ) ( ) ( ) 0 2 D X  aC P X a  与已知矛盾,所以 P(X  C) 1. 再证充分性 ( ) ( ) [ ( )] 0. 2 2 2 2 D X E X  E X C C  当 P(X  C) 1 时, E(X)C1C, 2 2 2 E(X )C 1C , 则

问题3方差不存在的随机变量, 其期望是否也不存在? 同学甲答是因为由DX)=E(x2)-[E(X 得E(X)=tVE(x2)-D(X) 右边DX)不存在则左边B(X)也不能存在 同学乙答否.因为二阶中心矩不存在并不能 推出一阶原点矩不存在 两种回答究竞谁对?

6 问题3 方差不存在的随机变量, 其期望是否也不存在？ 是.因为由 ( ) ( ) [ ( )] . 2 2 同学甲答 D X E X  E X 得 ( ) ( ) ( ) 2 E X  E X D X 右边D(X)不存在则左边E(X)也不能存在. 同学乙答 否.因为二阶中心矩不存在并不能 推出一阶原点矩不存在. 两种回答究竟谁对？

同学乙回答得对 例如X~(m)—自由度为n的分布 当n>2时,B(x)=0,D(X)=E(x2)=n 当n=2时,E(X)=0,DX)=0∞

7 同学乙回答得对 自由度为n 的分布. 2 ( ) 0, ( ) ( ) 2     n n E X D X E X 当n2时, E(X) 0, D(X) . 当n2时, 例如 X ~t(n)

Q4-5设x表示电梯需停次数,则 23 m n n-1 n-2 1-h 12 E(X)×+ n n-1 n-2 n-m n1-1 概率怎能为负! (右n<m)

8 4 - 5 设 X 表示电梯需停次数, 则 n m m n n n E X          2 3 1 1 2 ( ) ？ X 1 2 3  m p  1 1 n n 1 2 1 n nm 1 概 率怎能为负！ (若n<m) . 1 1 1              m n n

电梯在第i层停 解设X 0,电梯在第i层不停 设X表示电梯需停次数,则x=∑x 0 P1-1 E(X1)=1-1 1 E(X)=∑E(Xx)=川1-1

9 解 设Xi  1, 电梯在第 i 层停 0, 电梯在第 i 层不停 i 1 ~ n m n         1 1 1 X i 1 0 p m n        1 1 E(Xi)  m n         1 1 1 i 1 ~ n 设 X 表示电梯需停次数, 则    n i X Xi 1    n i E X E Xi 1 ( ) ( ) . 1 1 1              m n n

4-9设X表示第i个人摸到的红球 数,设X表示n个人共摸到的红球数, 则有 0 2 0.3 0.6 0.1 E(x1)=0.8→E(X)=∑E(x1)=0.8n D(X)=E(X2)-(E(X)2 9n(4×0.1+1×0.6+0×0,3)-(0.8n2 =n-0.64n 10

10 4 - 9 设 Xi表示第 i 个人摸到的红球 Xi 0 1 2 p 0.6 2 5 1 3 1 2  C C C 0.3 2 5 2 3  C C 0.1 1 2 5  C E X E X E X n n i i i ( ) 0.8 ( ) ( ) 0.8 1       数, 设 X表示 n 个人共摸到的红球数, 则有 2 2 D(X )  E(X )  (E(X )) 2  n  0.64n 2 ？ n(4 0.11 0.6  0 0.3)  (0.8n)