C11-39 §12概率的定义及其计算 频率 设在n次试验中,事件A发生了m次 则称fn 为事件4发生的频率
Ch1-39 §1.2 概率的定义及其计算 设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 频率 n m f 则称 n = 为事件A发生的频率
ch140 频率的性质 口0≤f(4)≤1 非负性 日f(g2)=1 归一性 口事件A,B互斥,则 f(A∪B)=f(A)+fn(B 可加性 可推广到有限个两两互斥事件的和事件 →0o ()=b() 稳定性 某一定数
Ch1-40 频率的性质 ❑ 0 f n (A) 1 ❑ () =1 n f ❑ 事件 A, B互斥，则 f (A B) f (A) f (B) n = n + n 可推广到有限个两两互斥事件的和事件 非负性 归一性 可加性 ❑ lim f (A) P(A) n n = → 稳定性 某一定数
Ch1-41 频率稳定性的实例 蒲丰(Bom)投币 投一枚硬市观察正面向上的次数 n=4040,nn=2048,fn(H)=0.5069 皮尔森( Pearson)投币 n=12000n=6019,fH)=05016 n=2400,nmn=12012,fn(H)=0.5005
Ch1-41 投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048, f n ( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n ( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n ( H ) = 0.5005 频率稳定性的实例 蒲丰( Buffon )投币 皮尔森( Pearson ) 投币
例 Dewey G统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率,发现各字母出现 的频率不同 A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:00389 E:0.1268F:00256G:00187H:00573 :0.0707J:0.0010K:0.00601:00394 M:0.0244N:0.07060.0.0776P:0.0186 Q00R:0.0594S:00634T:00987 U:00280V0.0102W:0.024:0006 Y:0.0202z:00006
Ch1-42 例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同： A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006
概率的定义 概率的 统计定义在相同条件下重复进行的n次 试验中事件A发生的频率稳定地在某一 常数p附近摆动,且随n越大摆动幅度越」 小,则称p为事件A的概率,记作P(4) 对本定义的评价 优点:直观缺点:湘粗糙不便 易懂模糊使用
Ch1-43 概率的 统计定义 概率的定义 在相同条件下重复进行的 n 次 试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A). 对本定义的评价 优点：直观 易懂 缺点：粗糙 模糊 不便 使用
概率的 公理化定义 找漫来知的 邪莫希薮(A记)⑩6〕称过炒事小 概率,这种赋值满足下面的三条公理: 口菲负性:∨Ac9,P小20 口归一性:P(2)=1 口可列可加性:U4小=4) 其中A4,A2,…为两两互斥事件
Ch1-44 设 是随机试验E 的样本空间，若能 找到一个法则，使对于E 的每一事件 A 赋 于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的 概率，这种赋值满足下面的三条公理： ❑ 非负性： A , P(A) 0 ❑ 归一性： P() =1 = = = 1 1 ( ) i i i ❑ 可列可加性： P Ai P A 其中 A1 , A2 , 为两两互斥事件， 概率的公理化理论由前苏联数学家柯 尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立. 概率的 公理化定义
Ch1-45 概率的性质 日P)=0 口有限可加性:设A,42,A两两互斥 PUA=∑P(4 i=1 i=1 口P P(A)=1-P(A)→P(s1 口若AcB→P(B-A)=PB)-P(4) →P(A)≤P(B)
Ch1-45 概率的性质 ❑ P() = 0 ❑ P(A) =1− P(A) P(A) 1 ❑ 有限可加性: 设 A A A n , , 1 2 两两互斥 = = = n i i n i P Ai P A 1 1 ( ) ❑ 若 A B P(B − A) = P(B) − P(A) P(A) P(B)
口对任意两个事件A,B,有 P(B-A=P(B)-P(AB) L AB B=AB+B-A) B-AB P(B)=P(B)+ P(B-AB)
Ch1-46 ❑ 对任意两个事件A, B, 有 P(B − A) = P(B) − P(AB) B A B=AB+(B – A) P(B)=P(AB)+ P(B – AB) B - AB AB
Ch1-47 口加法公式:对任意两个事件A,B,有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AUB)≤P(A)+P(B) 推广 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C P(AB)-P(AC)P(BC) + P(ABC)
Ch1-47 ❑ 加法公式：对任意两个事件A, B, 有 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) P(A B) P(A) + P(B) 推广： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ABC P AB P AC P BC P A B C P A P B P C + − − − = + +
Ch1-48 般 PA)=∑P(4)-∑P(AA)+ l≤i<j≤n +∑P(A44)+…+(-1yP(4A2…4 1≤ijk≤n 右端共有2n-1项
Ch1-48 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 n n n i j k n i j k i j n i j n i i n i i P A A A P A A A P A P A P A A − = = + + + − = − + 一般： 右端共有 2 −1 项. n