《数学分析》课程教学资源（讲义）第三章 函数的极限

第三章函数的极限 1.用极限定义证明下列极限: (4)lin(x-2(x-1)=0 (5)lim√x2+5=3 1 (7) lim x2tx x→x+/∞; (10) lim 2.用极限的四则运算法则求下列极限 x→+021 lim.r (3)im(x-12+(-3x +x-2 (6) lim x-5x+6 →3x2-8x+15 (7)1mnx-1(n,m为正整数) 3.设f(x)>0,证明:若mf(x)=A,则im√(x)=A,其中正整数n≥2

第三章 函数的极限 1．用极限定义证明下列极限： (1) 2 1 3 1 lim x 9 2 x →− x − = − ； (2) 2 3 3 1 lim x 9 6 x → x − = − ； (3) 1 1 lim 2 1 x x x → − = − ； (4) 1 ( 2)( 1) lim 0 x 3 x x → x − − = − ； (5) 2 2 lim 5 3 x x → + = ； (6) 2 1 ( 1) 1 lim x 1 2 x x → x − = − ； (7) 2 3 lim x 9 x → x =  − ； (8) 1 lim 1 x 2 x → x − = + ； (9) 2 lim x 1 x x → x + =  + ； (10) 2 2 5 lim 1 x 1 x → x − = − . 2．用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2 2 0 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (2) 2 2 1 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (3) 3 2 3 0 ( 1) (1 3 ) lim x 2 x x → x x − + − + ； (4) 2 1 lim x x x x → − ； (5) 3 1 2 lim x 3 x → x + − − ； (6) 2 2 3 5 6 lim x x x → x x − + −  +  ； (7) 1 1 lim 1 n m x x → x − − （ n m, 为正整数）； (8) 4 1 2 3 lim 2 x x x → + − − . 3．设  f x( ) 0 ，证明：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，则 0 lim ( ) n n x x f x A → = ，其中正整数   n

4.证明:若imf(x)=A,则lim∫f(x)=4,但反之不真 5.求下列函数字所示点的左右极限 0 1, (1)f(x)=1 (2)f(x) (3)f(x) (4)f(x)=--[ 在 是正整数 x>0 (5)f(x) 在 6.求下列极限: (3)lim(√x2+1-x) (4)lim(√x2+1-x); lim sinx (7) lim → nyx+√x+√ 7.用变量替换求下列极限 (1)imx-] (2) lim x"Inx(a>0);

4．证明：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，则 0 lim | ( ) | | | x x f x A → = ，但反之不真. 5．求下列函数字所示点的左右极限： (1) 2 1, ( ) 1, 2 , 1, x f x x x x      =   =    +  在 x =1 ； (2) 2 1 sin , ( ) , x x f x x x x      =    +    在 x =0 ； (3) 2 | | 1 ( ) , 1 x f x x x = + 在 x =0 ； (4) 1 1 f x( ) [ ], x x = − 在 1 x = n ， n 是正整数； (5) 2 , ( ) 0, , 0, x x f x x x x       =   =   +   在  x = . 6．求下列极限： (1) 2 2 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (2) 5 7 lim 2 x x x x →+ − + ； (3) 2 lim ( 1 x x x →+ + − ) ； (4) 2 lim ( 1 x x x →− + − ) ； (5) 2 2 3 lim x x x → x + ； (6) 2 sin lim x 4 x x →+ x − ； (7) cos lim x x x →− x − ； (8) lim x 1 xxx →+ x + + + . 7．用变量替换求下列极限： (1) 0 1 lim [ ] x x x → + ； (2) 0 lim ln ( 0) a x x x a → +  ； (3) ln lim 0 a x x a →+ x (  ) ；

设f(x)在(a,+∞)上单调上升,imxn=+∞,若imf(x)=A,求证:lmf(x)=A (A可以为无穷) 9.设f(x)在集合x上定义,则f(x)在X上无界的充要条件是:存在xn∈ 1,2,…,使imf(x)|=+∞ 0.利用重要极限求极限: (1) (2) lim 1-o(sin x) (3)lim tan 3x x→0sin5x 2sin x-sin 2 x→0 (5) lim cos 5x-cos 3x (7) lim arctan x (8)lim- sin 43 x0√x+1-1 cos x x→01-cosx (10)1m (n为奇数) (11) (12)Iimm(mn为整数) x→ sIn nx (13)lim COS x (14) lim xsin-: (15) lim [cos√n+1-cos√n (16) lim sin(√m2+1)(m为整数)

(4) 1 lim x x x →+ . 8．设 f x( ) 在 +  ( , ) a 上单调上升， lim n n x → = +  ，若 lim ( ) n n f x A → = ，求证： lim ( ) x f x A →+ = （ A 可以为无穷）. 9．设 f x( ) 在集合 X 上定义，则 f x( ) 在 X 上无界的充要条件是：存在 , n  x X = n 1, 2, ，使 lim ( ) | n f x →  = +  . 10．利用重要极限求极限： (1) 0 sin 2 lim x x → x ； (2) 2 2 0 sin lim (sin ) x x → x ； (3) 0 tan 3 lim x sin 5 x → x ； (4) 3 0 2sin sin lim x x x → x −  ； (5) 2 0 cos 5 cos 3 lim x x x → x − ； (6) 3 0 tan sin lim x x x → x − ； (7) 0 arctan lim x x → x ； (8) 0 sin 4 lim 1 1 x x x → + − ； (9) 2 0 1 cos lim 1 cos x x → x − − ； (10) 0 cos( arccos ) lim x n x n → x ( ) 为奇数 ； (11) 4 tan 1 lim 4 x x x →   − − ； (12) sin lim , x sin mx m n → nx （ 为整数） ； (13) 2 cos lim 2 x x x →   − ； (14) 1 lim sin x x →+ x ； (15) lim [cos cos ] x n n →+ +  − ； (16) 2 lim sin ( 1) x  n n →+ + ( ) 为整数 ；

(18)lim(+mx)(n为整数) (21) lim +3x-1 (22) lim(sin x) 11.证明 lim cos不存在 12.证明limD(x)不存在,其中 ∫1,x为有理数 0,x为无理数 13.求极限 用定义证明: (1)若limf(x)=+∞,limg(x)=A,则lim[f(x)+g(x)=+∞ 若 g(x)=A(>0), lim [f(x)g(x) 15.若lmf(x)=A,limg(x)=B,证明:lm[f(x)g(x=AB 6.证明limf(x)=A的充要条件是:对任何数列x→+∞(n→∞),有 f(xn)→A( 17.证明limf(x)=+∞的充要条件是:对任何数列x→x(n→∞),有 f(xn)→A(n→∞) 18.设函数f(x)在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且limf(x)=A,证明 f(x)=A,x∈(0,+∞)

(17) lim x x x − →         － ； (18) 1 0 lim (1 ) x x nx n → + ( ) 为整数 ； (19) cot 0 lim (1 tan ) x x x → + ； (20) 1 0 1 lim ( ) 1 x x x x → + − ； (21) 3 2 2 1 lim ( ) 3 1 x x x x − →+ + − ； (22) tan 2 lim (sin ) x x x  → ； (23) 2 2 2 1 lim 1 x x x → x   −   −   ； (24) lim 1 n x n x →+ n   +     − . 11．证明 0 1 lim cos x→ x 不存在 . 12．证明 0 lim ( ) x x D x → 不存在，其中 1, ( ) , . x D x x  =    为有理数， 为无理数 13．求极限 lim cos cos cos 2 4 2 n n x x x →+ . 14．用定义证明： (1) 若 lim ( ) x a f x → = +  ， lim ( ) x a g x A → = ，则 lim ( ) ( )] x a f x g x →  + = +  ； (2) 若 lim ( ) x a f x → = +  ， lim ( ) x a g x A → = (  ) ，则 lim ( ) ( )] x a f x g x →  = +  . 15．若 lim ( ) x f x A →+ = ， lim ( ) x g x B →+ = ，证明： lim ( ) ( )] x f x g x AB →+  = . 16．证明 lim ( ) x f x A →+ = 的充要条件是：对任何数列 ( ) n → +  →  x n ，有 ( ( ) n ) → →  f x A n . 17．证明 0 lim ( ) x x f x → + = +  的充要条件是：对任何数列 0 ( ) n → →  x x n ，有 ( ( ) n ) → →  f x A n . 18．设函数 f x( ) 在 +  (0, ) 上满足方程 = f x f x (2 ) ( ) ，且 lim ( ) x f x A →+ = ，证明：   +  f x A x ( ) , (0, )