《数学分析》课程教学资源（讲义）第二章 函数

Chapter2函数 1函数概念 Example S=vt t≥0 t≥0 S 0≤t g Definition1.设给定实数集合X,若存在一对应法则f,yx∈X,彐唯一的实数y∈R 与之对应。则称∫是定义在X上的函数,记为: f:X>R或 也可记为:y=f(x),x∈X X—定义域,x—自变量,y—因变量 f(x)=y=f(x)|x∈X}称f(x)为f的值域 函数的两个重要因素: (1)对应法则 (2)定义域 Example取整函数 f(x)=[x] 不超过x的最大整数 f(x)=(x)=x-[x]小数部分函数 函数的图形(平面上) {(x,f(x)|x∈X} 注意:整数部分函数和小数函数的连续(单调性和周期性) Example2 xI Example3 Dirichlet函数 (当x是有理数) D(x)= (当x是无理数) sgn(x)=o X= 0 函数的特性 1奇偶性 定义域X是关于原点对称 vx∈Xf(-x)=-f(x) 奇 f(x)=x和f(x)=sin(x) Vx∈Xf(-x)=f(x f(x)=cos(x)和f(x)=x2

Chapter 2 函数  1 函数概念 Example s = vt t  0 2 2 1 s = at t  0 2 2 1 s = gt g h t 2 0   Definition 1. 设给定实数集合 X ，若存在一对应法则 f ， x X ， 唯一的实数 y  R 与之对应。则称 f 是定义在 X 上的函数，记为： f : X → R 或 x → y 也可记为： y = f (x)， x X . X ──定义域， x ──自变量， y ──因变量 f(x)={y=f(x)|x  X }称 f(x)为 f 的值域 函数的两个重要因素： (1) 对应法则； (2) 定义域. Example1 取整函数 f(x)=[x] 不超过 x 的最大整数. f(x)= (x)=x-[x] 小数部分函数. 函数的图形(平面上) {(x, f(x)|x  X } 注意: 整数部分函数和小数函数的连续(单调性和周期性) Example2 |x| Example3 Dirichlet 函数 D(x)=    0 1. ( ) ( ) 当 是无理数 当 是有理数 x x sgn(x)=     − 1 0 1. 0 0 0  =  x x x 函数的特性 1 奇偶性 定义域 X 是关于原点对称 x X f(-x)= - f(x) 奇 f(x)=x 和 f(x)=sin (x) x X f(-x)= f(x) 偶 f(x)=cos(x)和 f(x)=x 2

2单调性 x12x2∈X,x10,对vx∈(-∞,+∞)有 f(x+T=f(x) T是周期 v=SIn(X D(x) 4有界性 Def彐M>0,对Vx∈X有 fx)≤M Def”彐A,BA≤B且对x∈X有 A≤f(x)≤B Def(无界的定义)VM>0彐x,∈X使得 If(x)p x 2.复合函数与反函数 1.复合函数 Def 1 y=f(a)u∈Uu=g(x)x∈Xg(x)cU 则y=f(g(x)是定义在X上的函数,称为g与∫的复合函数 反函数 Defy∈f(x)有唯一的x∈X使得∫(x)=yx=/(y)习惯x为自变量 f(x)x∈f(x) 命题2严格递增(减)的函数必有反函数,且其反函数也是严格递增(减)的。 证明:设y=f(x)在x上严格递增。要证x=f(v)在f(Xx)上也严格递增 (反证法)如果不然,1,y2∈f(X)y1<y2但

2 单调性 x1 , x2  X , 1 2 x  x 有 f( 1 x )  f( 2 x ) 单调 f(x)=x f(x)=x 3 3 周期性 Def T  0,对 x (−,+) 有 f(x+T)= f(x) T 是周期 y=sin(x) T min = 2 D(x) * x Q 4 有界性 Def M  0,对 x X 有 f(x)  M Def’ A, B A  B 且对 x X 有 A  f (x)  B Def（无界的定义） M  0 xn  X 使得 | f (x)| M Exa ( ) x f x 1 = 2. 复合函数与反函数 1． 复合函数 Def 1 y = f (u) uU u = g(x) x X g(x) U 则 y = f (g(x)) 是定义在 X 上的函数，称为 g 与 f 的复合函数。 2．反函数 Def y f (x) 有唯一的 x X 使得 f (x) = y ( ) −1 x = f y 习惯 x 为自变量 ( ) −1 y = f x x f (X ) 命题 2 严格递增（减）的函数必有反函数，且其反函数也是严格递增（减）的。 证明： 设 y = f (x) 在 x 上严格递增。要证 ( ) −1 x = f y 在 f (X ) 上也严格递增。 （反证法）如果不然， ( ) 1 2 1 2 y , y  f X , y  y 但

f(v1)≥f(2)这时有 y=f((vn))≥f(f(2)2)=y2得证 3.初等函数 基本初等函数 (1)常值函数 y=cx∈(-o,+0 (2)指数函数 (-a+∞)(a>0,a≠1) 3.对数函数y=bgax(a>0.,a≠1) 4.幂函数 其中≠0 5.三角函数 6.反三角函数 习题:4(2),5,6(1)(2)

( ) ( ) 1 2 1 1 − − f y  f y 这时有 ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 y = f ( f y )  f ( f y ) = y − − 得证 3．初等函数 基本初等函数 （1） 常值函数 y = c x(− ,+) （2） 指数函数 x y = a x(− ,+) (a  0,a  1) 3．对数函数 y = log x(a  0,a  1) a 4．幂函数  y = x ， 其中  ≠0。 5．三角函数 6．反三角函数 习题：4（2），5，6（1）（2）