《高等数学》课程教学资源：第十二章（12.6）可降阶的高阶微分方程

§12.6可降阶的高阶微分方程 y)=f(x)型的微分方程 二、y=f(x,y)型的微分方程 三、y′=f(y,y)型的微分方程 自

一、y (n)=f (x)型的微分方程 二、y=f(x y)型的微分方程 三、y=f(y y)型的微分方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃 §12.6 可降阶的高阶微分方程

y)=f(x)型的微分方程 今方程的解法 积分n次 0-)=fx)+C1,yn2(x)+C+C 例1求微分方程y"=e2-cosx的通解 解对所给方程接连积分三次,得 2e-snx+cl eLx +cosx+Cix+o 4 2 y=ex+sin x+Cix+C2x+C3 这就是所给方程的通解. 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 3 2 1 2 2 1 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + +  一、y (n)=f (x)型的微分方程 ❖方程的解法 积分n次 下页 1 ( 1) y f (x)dx C n = +  −  1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + +   −     1 ( 1) y f (x)dx C n = +  −  1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + +   −     1 ( 1) y f (x)dx C n = +  −  1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + +   −     解 对所给方程接连积分三次 得 例1 求微分方程y=e 2x−cos x 的通解 1 2 sin 2 1 y e x C x  = − +  1 2 2 cos 4 1 y e x C x C x  = + + +  这就是所给方程的通解

例2质量为m的质点受力P的作用沿Ox轴作直线运动设 力F仅是时间的函数:F=F(O).在开始时刻=0时F(0)=F0,随着 时间的增大,此力F均匀地减小,直到=T时,F()=0.如果开始 时质点位于原点,且初速度为零,求这质点的运动规律. 解设在时刻顷质点的位置再积分一次,得 为x=x(),则x()满足微分方程 x=20(2-n)+Ct+C2 d2x Fo 由条件x=0,x=0得 其初始条件为x1==0,x"=0 C2=0 把微分方程两边积分,得于是所求质点的运动规律为 dt m 2T )+C1 m26),0≤T 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设在时刻t质点的位置 为x=x(t) 解 于是所求质点的运动规律为 其初始条件为x| t=0=0 x| t=0=0 由条件x| t=0=0 x| t=0=0得 则x(t)满足微分方程 首页 例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动 设 力F仅是时间t的函数 F=F(t) 在开始时刻t=0时F(0)=F0  随着 时间t的增大 此力F均匀地减小 直到t=T时 F(T)=0 如果开始 时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 1 2 0 ) 2 ( C T t t m F dt dx = − +  把微分方程两边积分 得 再积分一次 得 1 2 3 0 2 ) 2 6 1 ( C t C T t t m F x= − + +  C1=C2=0 ) 2 6 1 ( 3 0 2 T t t m F x= −  0tT (1 ) 0 2 2 T t m F dt d x = −  >>>

二、y"=f(x,y)型的微分方程 今方程的解法 例3求方程(1+x2)y=2xy 设y=则方程y"=(x,y)的通解 化为 解设y=p,则原方程化为 p′=(x,p) (1+x2)p'=2xp 设此方程的通解为 或 dp 2x p=0(x,C1), dx 1+x 5p=0, 则y=0x,C1) 2 于是 =ce 于是方程y′=(x,y)的通解为 =C(1+x2) +X y=xCM+C2,两边再积分得原方程的通解 y=C1(x+1x3)+ 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 于是 (1 ) 2 1 1 2 1 2 p C e C x dx x x = +  = +  二、y=f(x y)型的微分方程 ❖方程的解法 设y=p 则方程y=f(x y) 化为 p=f(x p) 设此方程的通解为 p=j(xC1 ) 则 y=j(xC1 ) 于是方程y=f(x y)的通解为 1 2 y= (x,C )dx+C  j  解 设y=p 则原方程化为 (1+x 2 )p=2xp 或 0 1 2 2 = + − p x x dx dp  即 y=C1 (1+x 2 ) 两边再积分 得原方程的通解 2 3 1 ) 3 1 y =C (x+ x +C  例3 求方程(1+x 2 )y=2xy 的通解 首页 于是 (1 ) 2 1 1 2 1 2 p C e C x dx x x = +  = + 

、y"=(v,y)型的微分方程 今方程的解法 例4求方程y-y2=0的通 设y=P则方程y"=(yy)解 化为 解设y=p,则原方程化为 f(,p) 7.-p2=0, 设此方程的通解为 或 p=(0, hy=0(1=0,=0) 则 y=(y,C1), 于是方程y=v,y)的通解为 于是p=Cey=C1y, =x+O 0(y,C1) 2 混示:y=d dy dx dy 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 于是 p C e C y d y y 1 1 1 =  =  提示 三、y=f(y y)型的微分方程 下页 ❖方程的解法 设y=p 则方程y=f(y y) 化为 f (y, p) dy dp p =  设此方程的通解为 p=j(y C1 ) 则 y=j(y C1 ) 于是方程y=f(y y)的通解为 dy dp p dx dy dy dp dx dp y  = =  =  dy dp p dx dy dy dp dx dp y  = =  =  dy dp p dx dy dy dp dx dp y  = =  =  2 1 ( , ) x C y C dy = +  j  例4 求方程yy−y 2=0的通 解 解 设y=p 则原方程化为 0 2 − p = dy dp yp  或 0 1 − p = dy y dp ( y0 p0)

、y"=(v,y)型的微分方程 今方程的解法 例4求方程y-y2=0的通 设y=P则方程y"=(yy)解 化为 解设y=p,则原方程化为 f(,p) 7.-p2=0, 设此方程的通解为 或 p=(0, 的y=0(0y=0,p=0), 则 y=(y,C1), 于是方程y=(,y)的通解为 于是p=Cey=Cpy 即y-C1=0, =x+O 2 从而原方程的通解为 0(y,C1) y 返回 下页

首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、y=f(y y)型的微分方程 ❖方程的解法 设y=p 则方程y=f(y y) 化为 f (y, p) dy dp p =  设此方程的通解为 p=j(y C1 ) 则 y=j(y C1 ) 于是方程y=f(y y)的通解为 2 1 ( , ) x C y C dy = +  j  例4 求方程yy−y 2=0的通 解 解 设y=p 则原方程化为 0 2 − p = dy dp yp  或 0 1 − p = dy y dp ( y0 p0) 即 y−C1 y=0 从而原方程的通解为 C dx C x y C e C e 1 1 2 = 2  =  结束 于是 p C e C y d y y 1 1 1 =  = 