§123齐次方程 如果一阶微分方程 f(x, y) 中的函数x,y)可写成卫的函数,即f(x,y)=0(2), 则称这方程为齐次方程 自
§12.3 齐次方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果一阶微分方程 f (x, y) dx dy = 中的函数 f(x, y)可写成 x y 的函数 即 ( , ) ( ) x y f x y = 则称这方程为齐次方程
今齐次方程 如果一阶微分方程=f(x,y)中的函数x,y)可写成的 X 函数,即f(x,y)=0(2),则称这方程为齐次方程 例如 (1)xy-y-Vy2-x2=0是齐次方程.> (2)√1-x2y=-y2不是齐次方程.>> (3)(x2+y2)x-xyd≥=0是齐次方程.> (4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)d=0不是齐次方程.>> (5)(2xsh2+3ych2x-3 xchdy=0是齐次方程.>》 X X 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖齐次方程 例如 下页 如果一阶微分方程 f (x, y) dx dy = 中的函数 f(x, y)可写成 x y 的 函数 即 ( , ) ( ) x y f x y = 则称这方程为齐次方程 (1) 0 2 2 xy − y− y −x = 是齐次方程 (2) 2 2 1−x y = 1− y 不是齐次方程 (3)(x 2+y 2 )dx−xydy=0是齐次方程 (4)(2x+y−4)dx+(x+y−1)dy=0不是齐次方程 (5)(2 sh +3 ch ) −3 ch dy=0 x y dx x x y y x y x 是齐次方程 >>> >>> >>> >>> >>>
今齐次方程 如果一阶微分方程=f(x,y)中的函数(x,y)可写成的 X 函数,即f(x,y)=0(2),则称这方程为齐次方程 今齐次方程的解法 变量代换:令=y,即y=2x,则x+xm=0(x 分离变量: q()-x 两端积分: ( 还原变量求出积分后,再用代替 X 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖齐次方程的解法 •变量代换 •分离变量 •两端积分 •还原变量 下页 ❖齐次方程 如果一阶微分方程 f (x, y) dx dy = 中的函数 f(x, y)可写成 x y 的 函数 即 ( , ) ( ) x y f x y = 则称这方程为齐次方程 令 x y u= 即 y=ux 则 (u) dx du u+ x = x dx u u du = ( )− = − x dx u u du ( ) 求出积分后 再用 x y 代替 u 令 x y u= 即 y=ux 则 (u) dx du u+ x =
例1解方程y2+在1 dx 解原方程可写成 分离变量,得 )2 du= dx xy-x y-1 两边积分,得 X u-InJu+C-Inlxl 令少=l,即y=lx,则得 或写成lnkx=u+C u+x 以些代上式中的u,得 dx u-1 即 In lFa+C X 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 原方程可写成 1 ( ) 2 2 2 − = − = x y x y xy x y dx dy 令 u x y = 即 y=ux 则得 1 2 − + = u u dx du u x 即 −1 = u u dx du x 分离变量 得 x dx du u − ) = 1 (1 两边积分 得 u−ln|u|+C=ln|x| 或写成 ln|xu|=u+C 以 x y 代上式中的 u 得 C x y ln| y|= + 下页 例 1 解方程 dx dy x y dx dy y +x = 2 2
例2有旋转曲面形状的叫 镜,假设由旋转轴上一点O 出的一切光线经此凹镜反射后分离变量,得 都与旋转轴平行.求这旋转曲 dy 面的方程 √v2+1y 解设此凹镜是由xO1面两边积分并整理,得 曲线L:y=y(x)(1>0)绕x轴旋转 而成,光源在原点 提示: 根据题意,得齐次方程> ln(v+√v2+1)=lny-lnC dw i+eyr. +1 →卩+√v2+1= 令 X-y 得 → 2+1 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设此凹镜是由xOy面上 曲线 L y=y(x) (y>0) 绕x轴旋转 而成 光源在原点 提示 在此变换下方程化为 + =v+ v 2 +1 dy dv v y ln(v+ v 2 +1)=ln y−lnC C y v+ v 2 +1= ( −v) 2 =v 2 +1 C y 解 根据题意 得齐次方程>>> 令 v y x = 即 x=yv 得 = + ( ) 2 +1 y x y x dy dx 分离变量 得 y dy v dv = 2 +1 两边积分并整理 得 = v 2 +1 dy dv y 1 2 2 2 − = C yv C y 下页 例2 有旋转曲面形状的凹 镜 假设由旋转轴上一点O发 出的一切光线经此凹镜反射后 都与旋转轴平行 求这旋转曲 面的方程
例2有旋转曲面形状的叫 镜,假设由旋转轴上一点O 出的一切光线经此凹镜反射后分离变量,得 都与旋转轴平行.求这旋转曲 dy 面的方程 √v2+1y 解设此凹镜是由xO1面两边积分并整理,得 曲线L:y=y(x)(1>0)绕x轴旋转 而成,光源在原点 以y=x代入上式,得 根据题意,得齐次方程> 2C(x+ dw i+eyr. +1 所求的旋转曲面方程为 令 X-y 得 y2+2=2C(x+ 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 以yv=x代入上式得 ) 2 2 ( 2 C y = C x+ 所求的旋转曲面方程为 下页 ) 2 2 ( 2 2 C y +z = C x+ 设此凹镜是由xOy面上 曲线 L y=y(x) (y>0) 绕x轴旋转 而成 光源在原点 解 根据题意 得齐次方程>>> 令 v y x = 即 x=yv 得 = + ( ) 2 +1 y x y x dy dx 分离变量 得 y dy v dv = 2 +1 两边积分并整理 得 = v 2 +1 dy dv y 1 2 2 2 − = C yv C y 例2 有旋转曲面形状的凹 镜 假设由旋转轴上一点O发 出的一切光线经此凹镜反射后 都与旋转轴平行 求这旋转曲 面的方程
例3设一条河的两岸为平行直线,水流速度为a,有一鸭子 从岸边点A游向正对岸点O,设鸭子的游速为b(b>a,且鸭子游 动方向始终朝着点O,已知O4=h,求鸭子游过的迹线的方程 解取O为原点,河岸朝顺 b ershu= (In y+In C) 水方向为x轴,y轴指向对岸 设在时刻鸭子位于点x2/将=x代入上式并整理,得》> 则x和y满足微分方程〉> a [(Cy)b-(Cy)b] 的b61/3+1+x 小: 令x=,即x=y,得 分离变量,得 au +1 dy b 分离变量且两边积分,得 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 取O为原点 河岸朝顺 水方向为x轴 y轴指向对岸 提示 解 设在时刻 t 鸭子位于点P(x y) 则x和y满足微分方程>>> dy by a u du =− 2 +1 分离变量 得 y x y x b a dy dx =− ( ) 2 +1+ =− u2 +1 b a dy du y 令 u y x = 即 x=yu 得 分离变量且两边积分得 arsh (ln y lnC) a b u=− + 将 y x u= 代入上式并整理 得 [( ) ( ) ] 2 1 1 1 b a b a Cy Cy C x − + = − 下页 >>> 例3 设一条河的两岸为平行直线水流速度为a 有一鸭子 从岸边点A游向正对岸点O设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游 动方向始终朝着点O 已知OA=h 求鸭子游过的迹线的方程
例3设一条河的两岸为平行直线,水流速度为a,有一鸭子 从岸边点A游向正对岸点O,设鸭子的游速为b(b>a,且鸭子游 动方向始终朝着点O,已知O4=h,求鸭子游过的迹线的方程 解取O为原点,河岸朝顺 b ershu= (In y+In C) 水方向为x轴,y轴指向对岸 设在时刻鸭子位于点2/将=x代入上式并整理得 则x和y满足微分方程〉> a 2cLC)b-(Cy)b] d=-41(2)210代入上式,得C= dy bV h 令x=,即x=y,得故鸭子游过的迹线方程为 au b +1 0≤≤h dy b 分离变量且两边积分,得 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 arsh (ln y lnC) a b u=− + [( ) ( ) ] 2 1 1 1 b a b a Cy Cy C x − + = − 故鸭子游过的迹线方程为 [( ) ( ) ] 2 1 1 b a b a h y h h y x − + = − 0yh 将 y x u= 代入上式并整理 得 以 x| y=h =0 代入上式 得 h C 1 = 取O为原点 河岸朝顺 水方向为x轴 y轴指向对岸 解 设在时刻 t 鸭子位于点P(x y) 则x和y满足微分方程>>> y x y x b a dy dx =− ( ) 2 +1+ =− u2 +1 b a dy du y 令 u y x = 即 x=yu 得 分离变量且两边积分得 例3 设一条河的两岸为平行直线水流速度为a 有一鸭子 从岸边点A游向正对岸点O设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游 动方向始终朝着点O 已知OA=h 求鸭子游过的迹线的方程