《高等数学》课程教学资源：第十二章（12.4）一阶线性微分方程

§12.4一阶线性微分方程 线性方程 二、伯努利方程 自

一、线性方程 二、伯努利方程 §12.4 一阶线性微分方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃

线性方程 ◆一阶线性微分方程 形如y+Px)=Qx)的方程称为一阶线性微分方程,并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程,Qx)不恒为零时称为非齐次 线性方程 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程? (1)(x-2 ah1,更 e) dy dx x-2 y=0,是齐次线性方程 (2)3x2+5x-5y=0,→y=3x2+5x,是非齐次线性方程 (3)y+ cos x=emnx,是非齐次线性方程 (4))=10+y,不是线性方程 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、线性方程 形如y+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次 线性方程 ❖一阶线性微分方程 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？ y=3x 是非齐次线性方程 2+5x 是非齐次线性方程 (2)3x 2+5x−5y=0 (3)y+ycos x=e −sin x  (4) x y dx dy + =10  不是线性方程 (1) y dx dy (x−2) =   0 2 1 = − − y dx x dy (1) y  是齐次线性方程 dx dy (x−2) =   0 2 1 = − − y dx x dy (1) y  是齐次线性方程 dx dy (x−2) =   0 2 1 = − − y dx x dy  是齐次线性方程 (4) x y dx dy + =10  不是线性方程 下页

、线性方程 阶线性微分方程 形如y+Px)=Qx)的方程称为一阶线性微分方程,并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程,Qx)不恒为零时称为非齐次 线性方程 今齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)y=0是变量可分离方程,其通解为 v=Ce/ P(x)dx 提示: P(x)dx → P(x)dx→ In yl=-P(x)x+h|C|→y=Ce 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、线性方程 形如y+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次 线性方程 ❖一阶线性微分方程 ❖齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)y=0是变量可分离方程其通解为  = − P x dx y Ce ( )  提示  P x dx y dy =− ( ) ln | y|=− P(x)dx+ln |C|    = − P x dx y Ce ( )  P x dx  y dy =− ( ) ln | y|=− P(x)dx+ln |C|    = − P x d x y Ce ( )  P x dx  y dy =− ( ) ln | y|=− P(x)dx+ln |C|    = − P x d x y Ce ( ) 

◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)=0的通解为y=CcM 例1求方程(x-2)=y的通解 解原方程可变为 dxv=0 这是齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为 2) e Celn(x-2)=C(x-2) 即 C(x-2) 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖齐次线性方程的通解 例 1 求方程 y dx dy (x−2) = 的通解 解 原方程可变为 0 2 1 = − − y dx x dy  这是齐次线性方程 由通解公式得原方程的通解为 ( 2) 2 ln( 2) 1 = = −  = − − y Ce Ce C x x dx x  即 y=C(x−2) ( 2) 2 ln( 2) 1 = = −  = − − y Ce Ce C x x dx x ( 2) 2 ln( 2) 1 = = −  = − − y Ce Ce C x x dx x  齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为  = − P x d x y C e ( ) 

◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)y=0的通解为y= Ce- p(r)dr 非齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+P(x)=Qx)的通解为 y=u(x)- P(alds 代入非齐次线性方程求得 u(x)=0(xJeJ P(jdx 提示:代入后得到 u(x)e- P(xdx-u(x)e P(x)d P(x)+P(xu(x)e-P(x)dx=O(x) 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示这里所用的方法称为常数变易法这种方法就是把齐次 线性方程的通解中的任意常数C换成末知函数u(x) 然后代入 非齐次线性方程并确定出函数u(x) 提示 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x e u x e P x P x u x e Q x P x d x P x d x P x d x   −  +  = − − −  代入后得到 ❖非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 下页 ❖齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为  = − P x dx y u x e ( ) ( )    = P x dx u x Q x e ( ) ( ) ( )  齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为  = − P x d x y C e ( ) 

◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)y=0的通解为y= Ce- p(r)dr 非齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+P(x)=Qx)的通解为 J=(」P(x)dx 代入非齐次线性方程求得 u'(x)=O(x)eJ 积分得030x%)h+C 于是非齐次线性方程的通解为 y=e x Q(e P(x)ds dx+CI 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 于是非齐次线性方程的通解为 下页 ❖非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 ❖齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为  = − P x dx y u x e ( ) ( )    = P x dx u x Q x e ( ) ( ) ( )  积分得 u x Q x e dx C P x d x +  = ( ) ( ) ( )  [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x +   =  −  齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为  = − P x d x y C e ( ) 

◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+Px)=0的通解为y=C 非齐次线性方程的通解 非齐次线性方程y+Px)=Q(x)的通解为 y=e订xywk+ 汪 非齐次线性方程的通解也可为 y=CeJ P(aldr e P(x)d QC P(x)dx x)e 上式表明,非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性 方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注 非齐次线性方程的通解也可为 上式表明 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性 方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 下页 ❖非齐次线性方程的通解 ❖齐次线性方程的通解 非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为 [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x +   =  −  齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为  = − P x d x y C e ( )  y Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x    +  = − ( ) − ( ) ( ) ( ) 

非齐次线性方程y+P(x)Q(x)的通解为 P(x)a 1o(r)e P(x)ds y=e dx+Cl 例2求方程 dy 2 dx+1=(x+)2的通解 解这里P(x) 2 x)=(x+1)2 x+1 QC 由通解公式得 x+I [(x+12e x+l dx+C1 (x+(x+1(x+1)2d+((+12(x+12+ 即y=(x+1)(x+)2+(] 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 这里 1 2 ( ) + =− x P x  2 5 解 Q(x)=(x+1)  下页 由通解公式得 非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为 [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x +   =  −  例 2 求方程 2 5 ( 1) 1 2 = + + − x x y dx dy 的通解 [ ( 1) ] 1 2 2 5 1 2 y e x e dx C d x x d x x +  +  =  + − + ( 1) [ ( 1) ( 1) ] 2 2 5 2 = x+ x+ x+ dx+C  − ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 ( 1) [ ( 1) ( 1) ] = x+ x+ +C  2 2 5 2 = x+ x+ x+ dx+C  − ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 = x+ x+ +C  即 ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 y = x+ x+ +C 

例3有一个电路如图所示,其中电源电动势为E= E sino (En、O都是常数),电阻R和电感L都是常量.求电流() 解根据电学原理,得微分方程〉 R di R. E +-1 K 初始条件为i=0.由通解公式,得 E (t=e edt re R sin otel dt+o En(rsin ot-aLcosat)+Ce cs R R2+2L2 OLE 将初始条件i=0=0代入通解,得C=R2+2D 因此() LE R E e L+ R2+22 R2+22 (Rsin at-OLcoSat) 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 将初始条件 | 0 i t=0 = 代入通解 得 R2 2 L2 LE C m   + =  ( ) ( sin cos ) 2 2 2 2 2 2 R t L t R L E e R L LE i t t m L R m       − + + + = −  t L R m R t L t Ce R L E − − + + = ( sin cos ) 2 2 2      ( ) ( sin te dt C) L E i t e dt L R dt m L R +   =  −  t L E i L R dt di m + = sin  例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为E=Em sint (Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t) 解 根据电学原理 得微分方程 >>> 初始条件为i| t=0=0 由通解公式 得 因此 首页

伯努利方程 今伯努利方程 形如y+P(x)y=Q(x)(m≠0,1)的方程叫做伯努利方程. 考察下列方程是否是(或能否化为)伯努利方程? (1)2+1y=(1-2x)y4,是伯努利方程 dx (2)2=y+xy5,→2-y=xy,是伯努利方程 (3)y=2+2,→y-1y=xy1,是伯努利方程 X (4)2-2xy=4x,是线性方程,不是伯努利方程 dx 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、伯努利方程 ❖伯努利方程 下页 (2) 5 y x y dx dy = +   5 y x y dx dy − =  是伯努利方程 (3) x y y x y  = +   1 −1 − y = x y x y  是伯努利方程 (1) 4 (1 2 ) 3 1 3 1 y x y dx dy + = −  是伯努利方程 (4) x y x dx dy −2 =4  是线性方程 不是伯努利方程 (1) 4 (1 2 ) 3 1 3 1 y x y dx dy + = −  是伯努利方程 (2) 5 y xy dx dy = +   5 y xy dx dy (2) − =  是伯努利方程 5 y x y dx dy = +   5 y x y dx dy − =  是伯努利方程 (3) x y y x y  = +   1 −1 − y = x y x (3) y  是伯努利方程 x y y x y  = +   1 −1 − y = x y x y  是伯努利方程 (4) x y x dx dy −2 =4  是线性方程 不是伯努利方程 形如y+P(x)y=Q(x)y n (n0 1)的方程叫做伯努利方程 考察下列方程是否是(或能否化为)伯努利方程？