§11.4函数展开成幂级数 、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 函数八x)是否能在某个区间内“展开成幂级 数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某 区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x).如果 能找到这样的幂级数,则称函数(x)在该区间内能展 开成幂级数 自
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 §11.4 函数展开成幂级数 函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级 数” , 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某 区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果 能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该区间内能展 开成幂级数. 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、泰勒级数 今复习 根据泰勒中值定理,如果函数(x)在x0的某邻域内具有各 阶导数,则在该邻域内 f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+00(x-x)2+ f((x0) (x-xo n+r(x) (n+1) 其中R2(x) (n+1) (x-x0)+1(5介于x与x之间) 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时,将成为幂级数 这个幂级数就称为(x)的泰勒级数 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 ❖复习 根据泰勒中值定理, 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各 阶导数, 则在该邻域内 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数. ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 − + = + − + x x f x f x f x f x x x ( ) ( ) ! ( ) 0 0 ( ) x x R x n f x n n n + − + , 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x (介于 x 与 0 x 之间). 下页
、泰勒级数 泰勒级数 如果函数x)在点x的某邻域内具有各阶导数,则幂级数 f(x)+f(x)x-x)+)0(x-x0)2+ x-x)3 3! 称为函数f(x)的泰勒级数 ☆麦克劳林级数 在泰勒级数中取x=0,得 f(0)+f(0)x+ 2x2+…+ rn+ 此级数称为fx)的麦克劳林级数 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 ❖泰勒级数 如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数 称为函数f(x)的泰勒级数. ❖麦克劳林级数 在泰勒级数中取x0=0,得 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 0 − + − + + − + x x f x x x f x f x f x x x , + + + + + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x , 下页
、泰勒级数 泰勒级数 f(o)+f(o(x-xf(o) 2(x-x)2+23 x-x0)3+ ☆麦克劳林级数 f(0)+f(0)x+ x2+…+ rn+ 显然,当x=x0时,x)的泰勒级数收敛于f(x0) 需回答的问题是:除了x=x0外,fx)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛,它是否一定收敛于x) 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0 ). 需回答的问题是: 除了x=x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)? + + + + + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x , . ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 0 − + − + + − + x x f x x x f x f x f x x x , . 下页 ❖泰勒级数 ❖麦克劳林级数
、泰勒级数 泰勒级数 f(o)+f(o(x-xf(o) 2(x-x)2+23 x-x0)3+ ☆麦克劳林级数 f(0)+f(0)x+ fon(o) x2+…+ nln+ 今定理 设函数x)在点x的某一邻域Ux0)内具有各阶导数,则fx) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是八x)的泰勒 公式中的余项R(x)当n0时的极限为零,即 imR(x)=0(x∈U(x0).> 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0 )内具有各阶导数, 则f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项Rn (x)当n→0时的极限为零, 即 ❖定理 lim ( ) 0 ( ( )) 0 R x x U x n n = → . >>> 定理证明 下页 + + + + + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x , . ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 0 − + − + + − + x x f x x x f x f x f x x x , . ❖泰勒级数 ❖麦克劳林级数
展开式的唯一性 如果(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的, 定与(x)的麦克劳林级数一致 这是因为,如果(x)在点x0=0的某邻域(-R,R)内能展开成 的幂级数,即 fx)=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…, 那么有a00),a1-f(0)a2=",a2fm( 提示:f(x)a1+2a2x+303x2+4a4x3+5ax+…,f(0)=a1 f"(x)=2a2+32a3x+43a4x2+54ax3+…,f"(0)=2a2 f(m(x)=n!an+(n+1)n(n2-1)…2an+1x+……,f(m)(0)=nlan 返回 结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它 一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0=0的某邻域(−R, R)内能展开成x 的幂级数, 即 f(x)=a0+a1 x+a2 x 2+ +an x n+ , a , 0=f(0), a1=f (0), . 2! (0) 2 f a = , ! (0) ( ) n f a n n = , 提示: f (x)=2!a2+32a3 x+43a4 x 2+54a5 x 3+ , f (0)=2!a2 . f (n) (x)=n!an+(n+1)n(n−1)2an+1 x+ , f (n) (0)= n!an . 那么有 f (x)=a1+2a2 x+3a3 x 2+4a4 x 3+5a5 x 4+ , f (0)=a1 . 下页
展开式的唯一性 如果(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它 定与(x)的麦克劳林级数一致 应注意的问题: 如果(x)能展开成x的幂级数,那么这个幂级数就是f(x)的 麦克劳林级数 但是,如果(x)的麦克劳林级数在点x=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于(x) 因此,如果(x)在点x=0处具有各阶导数,则fx)的麦克劳 林级数虽然能作出来,但这个级数是否在某个区间内收敛,以 及是否收敛于fx)却需要进一步考察 自 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的 麦克劳林级数. 但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳 林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以 及是否收敛于f(x)却需要进一步考察. 应注意的问题: 首页 ❖展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它 一定与f(x)的麦克劳林级数一致
函数展开成幂级数 今函数展开成幂级数的步骤 °第一步求出f(x)的各阶导数:∫(x),f"(x),…,f((x), 第二步求函数及其各阶导数在x0处的值: f(O)、f'(O),f"(0),…,f()(0),…; 第三步写出幂级数 f(0)+f(0)x+ f"(0) 21x2+……+ (n(0) xn+ 并求出收敛半径R; 第四步考察在区间(-R,R)内时是否R(x)->0(n->∞) 如果R,(x)0(n=>∞)2则fx)在(-R,R)内有展开式 f"(0 f(x)=f(0+f(O)x+2x2+…+ f()(0) xn+…(-R<x<R) 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、函数展开成幂级数 ❖函数展开成幂级数的步骤 •第一步 求出f (x)的各阶导数: f (x), f (x), , f (n) (x), ; •第二步 求函数及其各阶导数在x=0处的值: f(0), f (0), f (0), , f (n) ( 0), ; •第三步 写出幂级数 •第四步 考察在区间(−R, R)内时是否Rn (x)→0(n→). 如果Rn (x)→0(n→), 则f(x)在(−R, R)内有展开式 ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 + + + = + + n n x n f x f f x f f x (−RxR). ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 + + + + + n n x n f x f f f x , 并求出收敛半径R; 下页
例1将函数(x)=e展开成x的幂级数 解显然fm(x)=eY(m=1,2,……),f(n(0)=1(m=1,2,…) 于是得级数 1+x+1x2+…-xn+ 它的收敛半径R-+∞0 对于任何有限的数x、(介于0与x之间),有 IR, (x)=z esx/n+lk∞(n+ n→>00 ex=1+x+x2+…-xn+…(-∞<x<+∞) 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 将函数f(x)=e x展开成x的幂级数. 解 显然 f (n) (x)=e x (n=1, 2, ), 于是得级数 f (n) (0)=1(n=1, 2, ). + + + + ! 1 2! 1 1 2 n x n x x , 它的收敛半径R=+. 对于任何有限的数x、 (介于0与x之间),有 而 0 ( 1)! | | lim 1 = + + → n x n n , 所以 lim| ( )|=0 → R x n n , 从而有展开式 ! 1 2! 1 1 2 = + + + + x n x n e x x (−<x<+). 而 0 ( 1)! | | lim 1 = + + → n x n n , 所以 lim| ( )|=0 → R x n n 而 0 , 从而有展开式 ( 1)! | | lim 1 = + + → n x n n , 所以 lim| ( )|=0 → R x n n , 从而有展开式 ( 1)! | | | ( 1)! | ( )| | 1 1 | | + + = + + n x x e n e R x n n x n , ( 1)! | | | ( 1)! | ( )| | 1 1 | | + + = + + n x x e n e R x n n x n , ( 1)! | | | ( 1)! | ( )| | 1 1 | | + + = + + n x x e n e R x n n x n , 下页
例2将函数f(x)sinx展开成x的幂级数 解因为f((x)=si(x+nx)(m=1,2,…), 所以∫(0)顺序循环地取0,1,0,-1,…(n=0,1,2,3,…) 于是得级数x-x+x 2n-1 +(-1)y-1 (2n-1) 它的收敛半径为R+∞ 对于任何有限的数x、(介于0与x之间),有 sins+ (n+1)丌 n+1 R2(x) n+1 >0(n->∞). (n+1) (n+1) 因此得展开式 sInx=x +(-1)y1x2n-1 +…(-∞<x<+∞) (2n-1) 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 将函数f(x)=sin x展开成x的幂级数. 解 因为 ) 2 ( ) sin( ( ) f x = x+n n 解 (n=1, 2, ), 所以f (n) (0)顺序循环地取0, 1, 0, −1, (n=0, 1, 2, 3, ), 于是得级数 + − − + − + − − − (2 1)! ( 1) 3! 5! 2 1 1 3 5 n x x x x n n , 对于任何有限的数x、 (介于0与x之间),有 它的收敛半径为R=+. ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 + + + + = + + n x x n n R x n n n →0 (n →). ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 + + + + = + + n x x n n R x n n n →0 (n →). ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 + + + + = + + n x x n n R x n n n →0 (n →). ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 + + + + = + + n x x n n R x n n n →0 (n →). 因此得展开式 sin x= (2 1) ! ( 1) 3! 5! 2 1 1 3 5 + − − + − + − − − n x x x x n n (−<x<+). 下页