《高等数学》课程教学资源：第十章（10.4）对面积的曲面积分

§10.4对面积的曲面积分 、对面积的曲面积分的概念与性质 对面积的曲面积分的计算法 自

一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 §10.4 对面积的曲面积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、对面积的曲面积分的概念与性质 令物质曲面的质量问题 设Σ为一物质曲面,其面密度为a(x,y,z),求其质量 把曲面∑分成n个小块 △S1,△S2,…,△Sn(△S;也代表曲面的面积 求质量的近似值: ∑p(2,h,)AS(5,,5)是△S上任意一点 取极限求质量的精确值: im∑p(5,nh2AS(为各小块曲面直径的最大值) ->0 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、对面积的曲面积分的概念与性质 设为一物质曲面 其面密度为r(x y z) 求其质量 ❖物质曲面的质量问题 •求质量的近似值 •取极限求质量的精确值 S1  S2     Sn (Si也代表曲面的面积) •把曲面分成n个小块 下页 i i i i n i S =  ( , , ) 1 r    ((i , i , i )是Si 上任意一点) i i i i n i M = S → = lim  ( , , ) 1 0 r     ( 为各小块曲面直径的最大值)

今对面积的曲面积分的定义 设曲面Σ是光滑的,函数f(x,y,z)在∑上有界把Σ任意分成 n小块 AS1,AS2,…,ASn(△S也代表曲面的面积) 在AS上任意一点(5,,),如果当各小块曲面的直径的最大 值λ→>0时,极限 im∑f(17,)△S 1→>0=1 总存在,则称此极限为函数fx,y,=)在曲面Σ上对面积的曲面 积分或第一类曲面积分,记作/(xyS,即 ∫0(xy3S=m∑ 202(5,AS 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 把任意分成 n小块 S1  S2     Sn (Si也代表曲面的面积) 在Si上任意一点(i  i  i ) ❖对面积的曲面积分的定义 下页 则称此极限为函数 f(x y z) 在曲面上对面积的曲面 积分或第一类曲面积分 记作  f (x, y,z)dS  即 i i i i n i f x y z dS = f S → =   ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      设曲面是光滑的 函数f(x y z)在上有界 i i i i n i f S → = lim  ( , , ) 1 0     如果当各小块曲面的直径的最大 值→0时极限 总存在 >>>

今对面积的曲面积分的定义 ∫0(xy3S=m∑(5,)AS 说明 在积分中,f(x,y,z)叫做被积函数,∑叫做积分曲面 如果fx,y,z)在光滑曲面Σ上连续时对面积的曲面积分是存在 的今后总假定fx,y,z)在Σ上连续 如果Σ是分片光滑的,例如Σ可分成两片光滑曲面Σ1及∑2(记作 ∑=∑1+∑2),就规定 Jf(x, y,3dS=[/(x, y,2ydS+[f(x, ),=)ds 对面积的曲面积分有对弧长的曲线积类似的性质 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •在积分中 f(x y z)叫做被积函数 叫做积分曲面 •如果f(x y z)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在 的 今后总假定f(x y z)在上连续 •如果是分片光滑的 例如可分成两片光滑曲面1及2 (记作 =1+2 ) 就规定 说明 •对面积的曲面积分有对弧长的曲线积类似的性质 首页 ❖对面积的曲面积分的定义 i i i i n i f x y z dS = f S → =   ( , , ) lim  ( , , ) 1 0          +   = + 1 2 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS 

二、对面积的曲面积分的计算法 面密度为f(x,y,)的物质曲面的质量为 M=lim 2/(S, S)AS, =If(x,y,3ds 另一方面,如果Σ由方程z=x(x,y)给出,∑在xOy面上的投影 区域为D,那么曲面的质量元素为 fIx,y, z(x, y)]dA=fIx,y, z(, y)11+=(x, y)+2x(, y)dxdy 根据元素法,曲面的质量为 M=x:xy4+(8)+(xyhp D 因此j0(x45-x12(x小+2(xy)+(xydd D 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、对面积的曲面积分的计算法 下页 面密度为f(x y z)的物质曲面的质量为   → = M =  f S = f x y z dS i i i i n i lim ( , , ) ( , , ) 1 0      另一方面 如果由方程z=z(x y)给出 在xOy面上的投影 区域为D 那么曲面的质量元素为 f x y z x y dA f x y z x y z x y z x y dxdy x y [ , , ( , )] [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) 2 2 = + +  根据元素法 曲面的质量为  = + + D x y M f[x, y,z(x, y)] 1 z (x, y) z (x, y)dxdy 2 2  因此   = + +  D x y f (x, y,z)dS f[x, y,z(x, y)] 1 z (x, y) z (x, y)dxdy 2 2 

今化曲面积分为二重积分 设曲面∑的方程为=(x,y),E在xOy面上的投影区域为D 函数=(x,y)在Dn上具有连续偏导数,被积函数f(x,y,=)在∑上 连续,则 ∫(45=0x:x)+(xy)+=3xd 讨论: 如果积分曲面∑由方程y=(,x)给出或由x=x(y,=)给出,那 么f(x,y,=)在∑上对面积的曲线面积分如何计算? 提示: 对于∑:y=y(,x),有 ∫(xy0xxx)+2计9(x)d在 D 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃   = + +  Dzx z x f (x, y,z)dS f[x, y(z,x),z] 1 y (z,x) y (z,x)dzdx 2 2  ❖化曲面积分为二重积分 设曲面的方程为z=z(x y) 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数z=z(x y)在Dxy上具有连续偏导数被积函数f(x y z)在上 连续 则   = + +  Dx y x y f (x, y,z)dS f[x, y,z(x, y)] 1 z (x, y) z (x, y)dxdy 2 2  讨论 如果积分曲面由方程y=y(z x)给出或由x=x(yz)给出 那 么 f(x y z)在上对面积的曲线面积分如何计算? 提示 对于 y=y(z x) 有

例1计算曲面积分「S,其中∑是球面x2+y2+2=a2 被平面z=h(0<h<a)截出的顶部 解∑的方程为=a2-x2-y2,Dyx2+y2a2-h2 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 下页 例 1 计算曲面积分  dS z 1  其中  是球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 被平面z=h(0ha)截出的顶部  的方程为 2 2 2 z= a −x − y  Dxy x 2+y 2a 2−h 2 

例1计算曲面积分「S,其中∑是球面x2+y2+2=a2 被平面z=h(0<h<a)截出的顶部 解Σ的方程为==ax2-x2-y2 D: x2+v2<a2h 因为 7y 22 ds=1+2x+=2dxdy3 ddl d-x 所以 ds dxdy -x--y y 2丌 =al de ral =raiN C h 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃   − − =   2 0 0 2 2 2 2 a h a r rdr a d h a =2aln    − − =  Dxy dxdy a x y a dS z 2 2 2 1 解 下页 例 1 计算曲面积分  dS z 1  其中  是球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 被平面z=h(0ha)截出的顶部  的方程为 2 2 2 z= a −x − y  Dxy x 2+y 2a 2−h 2  2 2 2 a x y x zx − − − =  2 2 2 a x y y zy − − − 因为 =  所以 dxdy a x y a dS z z dxdy x y 2 2 2 2 2 1 − − = + + =  2 2 2 a x y x zx − − − =  2 2 2 a x y y zy − − − =  dxdy a x y a dS z z dxdy x y 2 2 2 2 2 1 − − = + + = >>>    − − =  Dx y dxdy a x y a dS z 2 2 2 1   − − =   2 0 0 2 2 2 2 a h a r rdr a d h a =2aln 

例2计算曲面积分手x=s,其中∑是由平面x=0,y=0 z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面 解整个边界曲面∑在平面x=0、y=0、2=0及x+y+2=1上的 部分依次记为∑1、∑2、∑3及∑4,于是 ffxyecds-[xyedS+[xyedS+[xyedS +[xyeds =0+0+0+x245> ∑ ∫J3-xy)kb ∑4 O -V3C'xdx 5- ya-x-yldy= 3 120 返回 下页

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 2 计算曲面积分  xyzdS  其中  是由平面 x=0 y=0 z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面 解 整个边界曲面在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的 部分依次记为1、2、3及4  于是           = + + + 1 2 3 4 xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS   − = − − 1 0 1 0 3 (1 ) x xdx y x y dy 120 3 =    = + + + 4 0 0 0 xyzdS  = − − Dx y 3x y(1 x y)dxdy 结束 >>>   − = − − 1 0 1 0 3 (1 ) x xdx y x y dy 120 3 = 