《高等数学》课程教学资源：第十章（10.3）格林公式及其应用

§10.3格林公式及其应用 、格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 、二元函数的全微分求积 自

一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 §10.3 格林公式及其应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃

格林公式 单连通与复连通区域 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域 今区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时,如果左手在区域 D内,则行走方向是L的正向 D D 单连通区域 复连通区域 返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、格林公式 ❖单连通与复连通区域 ❖区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向 单连通区域 复连通区域 下页 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域

今定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y) 在D上具有一阶连续偏导数,则有 oo aP d=5Pd+Cb,一格林公式 D 其中L是D的取正向的边界曲线>> 应注意的问题 对复连通区域D,格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的 D 方向对区域D来说都是正向 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )  ❖定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(x y)及Q(x y) 在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 >>> ——格林公式 定理证明 应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向 下页

格林公式 ∫ oo aPydxdy=, Pdx+ody OX 今用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L,则 dy-ydx 提示:在格林公式中,令P=y,Q=x,则有 L ydx+xdy=2 dxdy, do a= dxdy=d, xdy-ydx D 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: 格林公式: ❖用格林公式计算区域的面积 下页   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )  设区域D的边界曲线为L 则   − + = D L ydx xdy 2 dxdy  或   = = − L D A dxdy xdy ydx 2 1  在格林公式中 令P=−y Q=x 则有  = − L A xdy ydx 2 1    − + = D L ydx xdy 2 dxdy  或   = = − L D A dxdy xdy ydx 2 1 

格林公式 ∫ oo aPydxdy=, Pdx+ody OX 今用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L,则 A xdy-vdx 例1求椭圆x=acos, y=bsin所围成图形的面积A 解设L是由椭圆曲线,则 丌 A=f xdy-ydx=h(absin20+abcos 2d0 Labl de=ab 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 格林公式: ❖用格林公式计算区域的面积 例1 求椭圆x=acosq y=bsinq 所围成图形的面积A   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )  设区域D的边界曲线为L 则  = − L A xdy ydx 2 1  解 设L是由椭圆曲线 则  = − L A xdy ydx 2 1  = +  q q q 2 0 2 2 ( sin cos ) 2 1 ab ab d q   = ab d =ab  2 2 0 1   = − L A xdy ydx 2 1  = +  q q q 2 0 2 2 ( sin cos ) 2 1 ab ab d q   = ab d =ab  2 2 0 1  下页

格林公式 ∫ oo aPydxdy=, Pdx+ody OX 今用格林公式计算二重积分 例2计算 leddy,其中D是以OO,0,A(1,1),BO,1) 为顶点的三角形闭区域 解令P=0,Q=xe-y2,则 2 e 因此,由格林公式有 B D 提示 要使 0Q0P=e,只需P=0,g=e2 O 1 x 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: 因此 由格林公式有 下页   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q 格林公式: ( )  ❖用格林公式计算二重积分 例 2 计算 − D y e dxdy 2  其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 为顶点的三角形闭区域 解 要使 2 y e y P x Q − =   −    只需 P=0 2 y Q x e− =  令 P=0 2 y Q x e− =  则 2 y e y P x Q − =   −   

格林公式 ∫ oo aPydxdy=, Pdx+ody OX 今用格林公式计算二重积分 例2计算 leddy,其中D是以OO,0,A(1,1),BO,1) 为顶点的三角形闭区域 解令P=0,Q=xe-y2,则 2 e 因此,由格林公式有 B we D OA+AB+BO -xe -y dy=l re dx=(1-e-) OA 1 x 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 因此 由格林公式有 下页   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q 格林公式: ( )  ❖用格林公式计算二重积分 例 2 计算 − D y e dxdy 2  其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 为顶点的三角形闭区域 解   + + − − = OA AB BO y D y e dxdy xe dy 2 2 (1 ) 2 1 1 1 0 2 2 − − − = = = −   xe dy xe dx e x OA y (1 ) 2 1 1 1 0 2 2 − − − = = = −   xe dy xe dx e x OA y (1 )  2 1 1 1 0 2 2 − − − = = = −   xe dy xe dx e x OA y    + + − − = OA AB BO y D y e dxdy xe dy 2 2 令 P=0 2 y Q x e− =  则 2 y e y P x Q − =   −   

格林公式 ∫ oo aPydxdy=, Pdx+ody OX 今用格林公式求闭曲线积分 例3设L是任意一条分段光滑的闭曲线,证明 2xydx+x dy=0 证令P=2xy,Q=x2,则 00 OP=2x-2x=0 OX Ov 因此,由格林公式有 2xox+x2dy=士aodh=0 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖用格林公式求闭曲线积分 令P=2xy Q=x 2 证  则 因此 由格林公式有 下页   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q 格林公式: ( )  例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明  + = L 2xydx x dy 0 2  =2 −2 =0   −   x x y P x Q  2 0 0 2 + = =   xydx x dy dxdy D L 2 0 0 2 + = =   xydx x dy dxdy D L 

例4计算xx在,其中L为一条无重点、分段光滑且 x+y 不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向 解记L所围成的闭区域为D 当(0,0)∈D时,由格林公式得 dv-vax J 0 L x+y L 提示:这里P= X xty ty D x2+y2≠0时,有 X aP Ox(x2+y2)2 ay 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: 解 y P x y y x x Q   = + − =   2 2 2 2 2 ( )  0 2 2 = + − L x y xdy ydx  下页 例 4 计算 + − L x y xdy ydx 2 2  其中 L 为一条无重点、分段光滑且 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当(0 0)D时 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D 这里 2 2 x y y P + − =  2 2 x y x Q + =  当x 2+y 20时 有

例4计算4x一x,其中L为一条无重点、分段光滑且 x+y 不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向 解记L所围成的闭区域为D 当(0,0)∈D时,在D内取一圆周k:x2+y2=2(>0) 记L及所围成的复连通区域为D1,应用格林公式得 xdy-ydx_r og aP )dxdy=0 JL+I x+y ax a L 其中l方向取顺时针方向.于是 D O r2t r cos0+rsin 0 d6=2兀 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 在D内取一圆周l: x 2+y 2=r 2 (r>0) 例 4 计算 + − L x y xdy ydx 2 2  其中 L 为一条无重点、分段光滑且 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当(0 0)D时 解 记L所围成的闭区域为D 记L及l所围成的复连通区域为D1  应用格林公式得 ( ) 0 1 2 2 =   −   = + −   + dxdy y P x Q x y xdy ydx D L l  其中l的方向取顺时针方向于是   − + − = + − L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2  + =  q 2 q q 0 2 2 2 2 2 cos sin d r r r =2   − + − = + − L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2  + =  q 2 q q 0 2 2 2 2 2 cos sin d r r r =2   − + − = + − L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2  + =  q 2 q q 0 2 2 2 2 2 cos sin d r r r =2