《高等数学》课程教学资源：第十章（10.7）斯托克斯公式环流量与旋度

§107斯托克斯公式环流量与旋度 斯托克斯公式 二、环流量与旋度 自

一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度 首页 上页 返回 下页 结束 铃 §10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度

、斯托克斯公式 今定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以r为边界的分片 光滑的有向曲面,I的正向与∑的侧符合右手规则,函数P(xy) Q(x,z)、R(xy)在曲面X(连同边界)上具有一阶连续偏导数, 则有 aQ aP)dxdy t oy &)dyd+ op or decar +lar Cy aR aQ az ax Pdx+Ody+Rdz.>>> r的正向规定如下 当右手除拇指外的四指依r的正向统行时, 大拇指所指的方向与E上的法向量的指向 相同。 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、斯托克斯公式 ❖定理 下页 设为分段光滑的空间有向闭曲线 是以为边界的分片 光滑的有向曲面 的正向与的侧符合右手规则 函数P(xyz)、 Q(xyz)、R(xyz)在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数 则有     −   +   −   +   −   dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   = Pdx+Qdy +Rdz  >>>记忆方法

例1利用斯托克斯公式计算曲线积分+xd+yt, 其中r为平面x+y+2=1被三个坐标面所截成的三角形的整个边 界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则 解设Σ为平面x+y+2=1被三个坐标面所截成的三角形, 按斯托克斯公式,有 2 dydz dzdx dxdi fedx+xdy+yds=(d aldAy D Ox D []dyds+dex+dxdy dydz+ dzdx+dxdy D Soke公式首页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 1 利用斯托克斯公式计算曲线积分  zdx+ xdy+ ydz 其中  其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成的三角形的整个边 界 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则 解 设为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成的三角形 Stokes公式 2 3 = + + = + + =      Dy z Dzx Dx y dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy  2 3 = + + = + + =      Dy z Dzx Dx y dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy  2 3 = + + = + + =      Dyz Dzx Dxy dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy  z x y x y z dydz dzdx dxdy zdx xdy ydz       + + =     z x y x y z dydz dzdx dxdy zdx xdy ydz       + + =     按斯托克斯公式 有

例2计算曲线积分/=(2=2)+(2-x21+(x2-y2 其中是用平面2x+2y+2z=3截立方体:0≤x≤1,0≤y≤1,0≤≤1的 表面所得的截痕,若从x轴的正向看去取逆时针方向 解取Σ为平面2x+21+2z=3的上侧被所围成的部分, 上侧的单位法向量为 (cosa, cos B, cosr)=( ∑ cosa cos B cosy O OX z 2 x x-y 4 √3 ∫ x+y+z)ds 412as 233a ∑ D Stokes公式 返回 结束

Stokes公式 首页 上页 返回 下页 结束 铃 ) 3 1 , 3 1 , 3 1 (cos,cos,cos )=(  dS y x z x x y x y z I   − − −       = 2 2 2 2 2 2 cos cos cos     =− x+ y+z dS =− dS 2 3 3 4 ( ) 3 4 2 9 =−2 3 3 =−  Dx y dxdy  解 取为平面2x+2y+2z=3的上侧被所围成的部分 上侧的单位法向量为 例 2 计算曲线积分I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 = − + − + −    其中是用平面2x+2y+2z=3截立方体 0x1 0y1 0z1的 表面所得的截痕 若从x轴的正向看去取逆时针方向     =− x+ y+z dS =− dS 2 3 3 4 ( ) 3 4 2 9 =−2 3 3 =−  Dx y dxdy      =− x+ y+z dS =− dS 2 3 3 4 ( ) 3 4 2 9 =−2 3 3 =−  Dx y dxdy      =− x+ y+z dS =− dS 2 3 3 4 ( ) 3 4 2 9 =−2 3 3 =−  Dxy dxdy 

二、环流量与旋度 ☆旋度 向量场A=(P(x,y,z)Q(x,y,z),R(x,y,2)所确定的向量场 aR OQ +( PaR、:,QOP k 称为向量场A的旋度,记为rotA,即 rotA(oR OO +( OPaR、:,OQOP )j+( 旋度的记忆法: i k rota= PO R Stokes公式 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、环流量与旋度 向量场A=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))所确定的向量场 ❖旋度 称为向量场A的旋度 记为rotA 即 旋度的记忆法 A ( )i ( )j ( )k y P x Q x R z P z Q y R   −   +   −   +   −   rot =  A ( )i ( )j ( )k y P x Q x R z P z Q y R   −   +   −   +   −   rot =  P Q R x y z      = i j k rotA  Stokes公式 下页

斯托克斯公式的向量形式 ∫rot4ns=」Atd,或∫(rot4),S=4d, 其中n是曲面Σ上点(x,y,z)处的单位法向量,t是∑的正向边界 曲线上点(x,y,z)处的单位切向量 ◆环流量 沿有向闭曲线厂的曲线积分 g Pax+@dy+Rd=,ds 叫做向量场A沿有向闭曲线的环流量 今斯托克斯公式的物理意义 向量场A沿有向闭曲线I的环流量等于向量场A的旋度场 通过所张的曲面Σ的通量 Stokes公式首页上页返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖斯托克斯公式的向量形式 其中n是曲面上点(x, y, z)处的单位法向量 t是的正向边界 曲线上点(x, y, z)处的单位切向量 沿有向闭曲线的曲线积分 叫做向量场A沿有向闭曲线的环流量 ❖环流量     rotAndS = Atds  或    dS = Ads n t (rotA)  向量场A沿有向闭曲线的环流量等于向量场A的旋度场 通过所张的曲面的通量     Pdx+Qdy+Rdz= Ads t ❖斯托克斯公式的物理意义 Stokes公式 结束