《高等数学》课程教学资源：第十章（10.6）高斯公式通量与散度

§10.6高斯公式通量与散度 、高斯公式 二、通量与散度 自

一、高斯公式 二、通量与散度 §10.6 高斯公式 通量与散度 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、高斯公式 今定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成,函数 P(x,y,)、Q(x,y,z)、R(x,y,2)在Ω上具有一阶连续偏导数, 则有 [op+ o+ oRxy-f Pdyd:+0dxdx+Rdxdy 或 aP OO aR +2+o dv=P(Pcosa+@cos B+Rcosr Ox 这里Σ是9的整个边界的外侧,cosa、cosB、cos是Σ在点 (x,y,z)处的法向量的方向余弦 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、高斯公式 定理证明 下页 ❖定理1 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数 P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上具有一阶连续偏导数 则有 这里是的整个边界的外侧 cos、cos、cos是在点 (x y z)处的法向量的方向余弦     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( )  或 dv P Q R dS z R y Q x P ( ) ( cos cos cos )     = + +   +   +      

例1利用高斯公式计算曲面积分付(x-y)+(y=)h ∑ 其中Σ为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围成的空间闭区域的 整个边界曲面的外侧 解这里P=(y=z)x,Q=0,R=x-y, 22:z=3 aP oO y-2 0 OR 由高斯公式,有 Σ1;z=0 (x-y)dxdy+(y-z)dydz :x2+y2≤1 JJ(y-sdxdyds=o de roedel(psin 0-2)d= 9丌 Q Gaus公式首页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 1 利用高斯公式计算曲面积分 (x− y)dxdy+(y−z)xdydz    其中为柱面x 2+y 2=1及平面z=0 z=3所围成的空间闭区域的 整个边界曲面的外侧 解 这里P=(y−z)x Q=0 R=x−y y z x P = −    =0   y Q  =0   z R  由高斯公式 有 (x− y)dxdy+(y−z)dydz   2 9 ( ) ( sin ) 2 0 1 0 3 0        = − = − =−      y z dxdydz d d z dz  2 9 ( ) ( sin ) 2 0 1 0 3 0        = − = − =−      y z dxdydz d d z dz  2 9 ( ) ( sin ) 2 0 1 0 3 0        = − = − =−      y z dxdydz d d z dz  Gauss公式

例2计算曲面积分(x2cosa+y2cos+2cosy)S,其中 ∑为锥面x2+y2=2介于平面z-0及z=h(h>0)之 z〓 间的部分的下侧,cosa、cos/、cosy是Σ上 点(x,y,z)处的法向量的方向余弦 ∑:z 解设∑1为z=h(x2+y2≤h2)的上侧,为∑ 与Σ所围成的空间闭区域,则 Dxy: x+y'sh2' (r cosa+y cos B+z cosr )ds=|z2dS-h2l dS=ht ∑ 因此(o+y1o+=248=mh-m=-5m Gaus公式首页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃   +  (x cos + y cos +z cos )dS =2 (x+ y+z)dv 1 2 2 2    4 2 1 = >>> h  下页 例 2 计算曲面积分 (x cos y cos z cos )dS 2 2 2 +  +     其中 为锥面x 2+y 2=z 2介于平面z=0及z=h(h>0)之 间的部分的下侧 cos、cos、cos是上 点(x, y, z)处的法向量的方向余弦 设1为z=h(x 2+y 2h 2 )的上侧为 与1所围成的空间闭区域 则 解   +  (x cos + y cos +z cos )dS =2 (x+ y+z)dv 1 2 2 2    4 2 1 = h  因此 2 2 2 4 4 4 2 1 2 1 (x cos + y cos +z cos )dS = h −h =− h      +  (x cos + y cos +z cos )dS =2 (x+ y+z)dv 1 2 2 2    4 2 1 = h  因此 2 2 2 4 4 4 2 1 2 1 (x cos + y cos +z cos )dS = h −h =− h   因此  2 2 2 4 4 4 2 1 2 1 (x cos + y cos +z cos )dS = h −h =− h    而 2 2 2 2 2 4 1 1 1 (x cos+ y cos +z cos )dS = z dS =h dS =h       而  2 2 2 2 2 4 1 1 1 (x cos+ y cos +z cos )dS = z dS =h dS =h       而  2 2 2 2 2 4 1 1 1 (x cos+ y cos +z cos )dS = z dS =h dS =h       而  2 2 2 2 2 4 1 1 1 (x cos+ y cos +z cos )dS = z dS =h dS =h        Gauss公式

例3设函数u(x,y,2)和v(x,y2z)在闭区域g上具有一阶及二阶连 续偏导数,∑是Ω的整个边界曲面,n是Σ的外法线方向,证明 uAydxdyd==ffu cvds ∫je Ox Ox Oy ay az az )dxdydz 说明 符号△=++O称为拉普拉斯算子, Av=+2+ Gauss.公式首页 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连 续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明 dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v u vdxdydz u ( )     +     +     −    =        说明: 符号 2 2 2 x y z  +   +   = 称为拉普拉斯算子 2 2 2 2 2 2 z v y v x v v   +   +    =  Gauss公式

例3设函数u(x,y,2)和v(x,y2z)在闭区域g上具有一阶及二阶连 续偏导数,∑是Ω的整个边界曲面,n是Σ的外法线方向,证明 △ vdxdydz 手2 )dxdydz x Ox 证设与n同向的单位向量为(cosa,cosB,cosy),则 ds =l cosa+cos B+cosr)ds oX (un)cosa+(ug) cos B+(us) cosy lds ()+(0)+(n2)]cd>) △ vdxdvdz+ au ay au ay au (Ox ox Oy av az a 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式 Gauss公式 自 返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连 续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明 dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v u vdxdydz u ( )     +     +     −    =        证 设与n同向的单位向量为(cos cos cos) 则       +   +   =   dS z v y v x v dS u n v u ( cos cos cos )     +   +   = dS z v u y v u x v [(u )cos ( )cos ( )cos ]       +     +     = dxdydz z v u y z v u x y v u x [ ( ) ( ) ( )]         +     +     =  + dxdydz z v z u y v y u x v x u u vdxdydz ( )  将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式 >>> Gauss公式 首页

二、通量与散度 今高斯公式的物理意义 高斯公式 ∫ aP OO aR +a+dv=R(Pcosa+ocos B+Rcosr Das 可以简写成 CIr/aP O@ aR +odv Q 其中vn=vn= Pcos+Qcos+Rcos 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的 总质量,左端可解释为分布在g内的源头在单位时间内所产生 的流体的总质量 Gaus公式首页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、通量与散度 下页 ❖高斯公式的物理意义 高斯公式     =   +   +   dv v dS z R y Q x P n ( )  dv P Q R dS z R y Q x P ( ) ( cos cos cos )     = + +   +   +       其中vn =vn=Pcos+Qcos+Rcos 可以简写成 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的 总质量 左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生 的流体的总质量 Gauss公式

散度 设Ω的体积为V,由高斯公式得 ∫ aP, OQ aR Mh=手 由积分中值定理得 aP, OO OR Ox Oy oz (5, n,5 voids 令9缩向一点M(x,y,z)得 aP, a@ aR ayzg→M 提示:其左端表示流体在点M的源头强度—单位时间单位 体积分内所产生的流体质量,称为ν在点M的散度 gauss式首页上页返回下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃   =   +   +   v dS z V R y Q x P n 1 ( )| (,, )  提示: 其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的 流体质量的平均值 提示: 其左端表示流体在点M的源头强度——单位时间单位 体积分内所产生的流体质量称为v在点M的散度 ❖散度 由积分中值定理得 下页 设的体积为V 由高斯公式得     =   +   +   v dS V dv z R y Q x P V n 1 ( ) 1  令缩向一点M(x y z)得   → =   +   +   v dS z V R y Q x P n M 1 lim  Gauss公式

散度 设某向量场由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,=)+R(x,y,z 给出,其中P,Q,R具有一阶连续偏导数,则称 aP, aQ, aR x 为向量场A的散度,记作div4,即 divA aP O@ aR cra,t Gaus公式首页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖散度 设某向量场由A(x y z)=P(x y z)i+Q(x y z)j+R(x y z)k 给出 其中P Q R具有一阶连续偏导数则称 为向量场A的散度记作divA 即 z R y Q x P   +   +   z R y Q x P   +   +   divA=  Gauss公式

散度 向量场4(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,=j+R(x,y,)的散度: div 4-aP, OO, aR ax av az 今通量 设Σ是场内的一片有向曲面,m是Σ上点(x,y,2)处的单位法 向量,则称 Ands 为向量场A通过曲面Σ向着指定侧的通量(或流量) Gaus公式首页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 AndS    ❖通量 下页 向量场A(x y z)=P(x y z)i+Q(x y z)j+R(x y z)k的散度: z R y Q x P   +   +   divA=  设是场内的一片有向曲面 n是上点(x y z)处的单位法 向量 则称 为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量) ❖散度 Gauss公式